Use o teste da razão para determinar a convergência da série.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n^{n}}{n!}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{n}}{n!}
usando o teste da razão. Vamos lembrar que, para esse teste, definimos a_{n}=\frac{n^{n}}{n!} e analisamos o limite
L = \lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}}.

Passo 2

Escrevendo a_{n} e a_{n+1}:
a_{n} = \frac{n^{n}}{n!}, \qquad a_{n+1} = \frac{(n+1)^{\,n+1}}{(n+1)!}.

Passo 3

Montamos a razão
\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \frac{\displaystyle\frac{(n+1)^{\,n+1}}{(n+1)!}}{\displaystyle\frac{n^{n}}{n!}} = \frac{(n+1)^{\,n+1}\,n!}{(n+1)!\;n^{n}} = \frac{(n+1)^{\,n+1}}{(n+1)\,n^{n}} = \frac{(n+1)^{\,n}}{n^{n}} = \Bigl(1 + \frac1n\Bigr)^{n}.

Passo 4

Calculamos o limite
L = \lim_{n\to\infty} \Bigl(1 + \frac1n\Bigr)^{n} = e.
Como e\approx2{,}718>1, o teste da razão garante que a série diverge.

Resposta

A série diverge pelo teste da razão, pois o limite da razão é e>1.

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