Use o teste da raiz para determinar a convergência da série.
\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{n}{2 n+1}\right)^{n}

Passo 1

O enunciado pede para investigar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n}{2n+1}\right)^{n}
usando o teste da raiz. O conteúdo principal aqui é séries numéricas e, em especial, o critério da raiz de Cauchy, que consiste em analisar \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}.

Passo 2

Seja
a_n = \left(\frac{n}{2n+1}\right)^{n}.
Pelo teste da raiz, definimos
L = \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}.
As regras do teste são:
– Se L<1, a série converge absolutamente.
– Se L>1, diverge.
– Se L=1, o teste é inconclusivo.

Passo 3

Calculemos a raiz n-ésima de |a_n|:
\sqrt[n]{|a_n|} = \sqrt[n]{\left(\frac{n}{2n+1}\right)^{n}} = \frac{n}{2n+1}.

Passo 4

Agora avaliamos o limite dessa expressão quando n\to\infty:
L = \lim_{n\to\infty}\frac{n}{2n+1} = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{2 + \tfrac1n} = \frac12.

Passo 5

Como L=\tfrac12<1, o teste da raiz garante que a série converge absolutamente. Logo, a série original converge.

Resposta

A série
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n}{2n+1}\right)^{n}
converge absolutamente e, portanto, converge.

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