Use o teste da raiz para determinar a convergência da série.
\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{-2 n}{3 n+1}\right)^{3 n}

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série
\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{-2n}{3n+1}\right)^{3n}
usando o teste da raiz, que é uma ferramenta para séries numéricas: se
L = \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{\bigl|a_n\bigr|}
existe, então a série \sum a_n converge absolutamente quando L<1 e diverge quando L>1.

Passo 2

Identificamos o termo geral
a_n = \left(\frac{-2n}{3n+1}\right)^{3n}
e consideramos o módulo para aplicar o teste da raiz:
\bigl|a_n\bigr| = \left|\frac{-2n}{3n+1}\right|^{3n} = \left(\frac{2n}{3n+1}\right)^{3n}.

Passo 3

Calculamos
\sqrt[n]{\bigl|a_n\bigr|} = \sqrt[n]{\left(\frac{2n}{3n+1}\right)^{3n}} = \left(\frac{2n}{3n+1}\right)^{3}
e, tomando o limite quando n\to\infty, obtemos
L = \lim_{n\to\infty}\left(\frac{2n}{3n+1}\right)^{3} = \left(\lim_{n\to\infty}\frac{2n}{3n+1}\right)^{3} = \left(\frac{2}{3}\right)^{3} = \frac{8}{27}.

Passo 4

Como
L = \frac{8}{27} < 1,
o teste da raiz garante que a série converge absolutamente. Logo, a série original converge.

Resposta

A série converge absolutamente (e, portanto, converge).

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