Use o teste da razão para convergência absoluta para determinar se a série converge ou diverge. Se o teste for inconclusivo, aponte isso.
\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1} \frac{2^{k}}{k!}

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1}\frac{2^{k}}{k!}
e pede para usar o teste da razão a fim de decidir sobre a convergência absoluta. Lembrando que o teste da razão analisa \displaystyle a_k = \bigl|\text{termo}_k\bigr|
e calcula \displaystyle L = \lim_{k\to\infty}\frac{a_{k+1}}{a_k}.

Passo 2

Para aplicar o teste da razão à convergência absoluta, consideramos
a_k = \left|(-1)^{k+1}\frac{2^{k}}{k!}\right| = \frac{2^{k}}{k!}.

Passo 3

Calculamos a razão entre termos consecutivos:
\frac{a_{k+1}}{a_k} = \frac{\frac{2^{k+1}}{(k+1)!}}{\frac{2^{k}}{k!}} = \frac{2^{k+1}}{(k+1)!\,}\,\frac{k!}{2^k} = \frac{2}{k+1}.
Agora tomamos o limite quando k\to\infty:
L = \lim_{k\to\infty}\frac{2}{k+1} = 0.

Passo 4

O teste da razão diz que se L<1 então a série de termos positivos \sum a_k converge. Aqui L=0<1, logo
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{2^{k}}{k!}
converge. Isso implica convergência absoluta da série original com sinais alternados.

Resposta

A série converge absolutamente (logo converge).

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