Use o teste da razão para convergência absoluta para determinar se a série converge ou diverge. Se o teste for inconclusivo, aponte isso.
\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1} \frac{3^{k}}{k^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede para aplicar o teste da razão em relação à convergência absoluta da série
\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1}\frac{3^k}{k^2}.
Para isso, definimos
a_k = \left|(-1)^{k+1}\frac{3^k}{k^2}\right| = \frac{3^k}{k^2}
e aplicaremos o teste da razão ao \sum a_k.

Passo 2

Calculemos a razão
\frac{a_{k+1}}{a_k} = \frac{\displaystyle\frac{3^{k+1}}{(k+1)^2}}{\displaystyle\frac{3^k}{k^2}} =3\;\frac{k^2}{(k+1)^2}.

Passo 3

Avaliamo-lo quando k\to\infty:
\lim_{k\to\infty}3\;\frac{k^2}{(k+1)^2} =3\;\lim_{k\to\infty}\frac{1}{\bigl(1+\tfrac1k\bigr)^2} =3\cdot1 =3.

Passo 4

Pelo teste da razão, se o limite L>1, a série \sum a_k diverge. Aqui L=3>1, logo
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{3^k}{k^2}
diverge, o que significa que a série original não converge absolutamente. Ademais, como
\lim_{k\to\infty}\frac{3^k}{k^2}=\infty\neq0,
os termos gerais não tendem a zero, e a série original também diverge (nem sequer condicionalmente).

Resposta

A série diverge.

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