Use o teste da razão para determinar a convergência da série.
\sum_{\mathrm{n}=1}^{+\infty} \frac{4^{\mathrm{n}}}{\mathrm{n}^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a série
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{4^{n}}{n^{2}}
usando o teste da razão. Como a série tem termos positivos, basta calcular
L \;=\;\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}},
onde a_{n} = \tfrac{4^{n}}{n^{2}}. Se L<1, a série converge; se L>1, diverge; se L=1, o teste é inconclusivo.

Passo 2

Escrevendo a_{n+1} e formando a razão:
a_{n+1} = \frac{4^{\,n+1}}{(n+1)^{2}},
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\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \frac{\tfrac{4^{\,n+1}}{(n+1)^{2}}}{\tfrac{4^{\,n}}{n^{2}}} =4\,\frac{n^{2}}{(n+1)^{2}}.

Passo 3

Calculamos o limite quando n\to\infty:
L = \lim_{n\to\infty}4\,\frac{n^{2}}{(n+1)^{2}} =4\,\lim_{n\to\infty}\Bigl(\frac{n}{n+1}\Bigr)^{2} =4\cdot1 =4.
Como L=4>1, o teste da razão garante que a série diverge.

Resposta

A série diverge, pois o limite da razão é 4>1.

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