Use o teste da razão para determinar a convergência da série.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{5 n}

Passo 1

O enunciado pede para usar o teste da razão na série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{5n}
O conteúdo aqui é teste de convergência de séries numéricas, em especial o teste da razão. Para isso vamos definir a_n e calcular \lim_{n\to\infty}\bigl|a_{n+1}/a_n\bigr|.

Passo 2

Definimos
a_n = \frac{1}{5n}.
Aplicando o teste da razão, consideramos a razão entre termos consecutivos:
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\tfrac{1}{5(n+1)}}{\tfrac{1}{5n}} = \frac{n}{n+1}.

Passo 3

Calculamos o limite dessa razão quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty} \frac{n}{n+1} = 1.
Como o resultado é 1, o teste da razão é inconclusivo (ele só afirma convergência se o limite for menor que 1, divergência se maior que 1).

Passo 4

Como o teste da razão não resolveu, observamos que a série é proporcional à série harmônica
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n},
que é um caso-p com p=1. Sabe-se que a série harmônica diverge. Multiplicar por 1/5 não muda a natureza da divergência.

Resposta

A série diverge.

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