Use o teste da razão para determinar a convergência da série.
\sum_{\mathrm{n}=1}^{+\infty} \frac{\mathrm{n}}{\mathrm{n}^{2}+1}

Passo 1

O enunciado pede para aplicar o teste da razão na série
\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{n}{n^{2}+1}
O conteúdo usado será o teste da razão, que diz: se
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|
então a série converge se L<1, diverge se L>1 e o teste é inconclusivo se L=1.

Passo 2

Denotando a_{n}=\frac{n}{n^{2}+1}, calculamos
\frac{a_{n+1}}{a_{n}} =\frac{\dfrac{n+1}{(n+1)^{2}+1}}{\dfrac{n}{n^{2}+1}} =\frac{n+1}{(n+1)^{2}+1}\,\cdot\frac{n^{2}+1}{n}.

Passo 3

Para achar o limite, dividimos numerador e denominador por n^{2}:
\frac{a_{n+1}}{a_{n}} =\frac{\bigl(1+\tfrac1n\bigr)\bigl(1+\tfrac1{n^{2}}\bigr)}{\bigl(1+\tfrac1n\bigr)^{2}+\tfrac1{n^{2}}} \quad\longrightarrow\quad \frac{1\cdot1}{1^{2}+0}=1.
Logo,
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|=1.

Passo 4

Como L=1, o teste da razão é inconclusivo e não permite decidir a convergência da série.

Resposta

O teste da razão é inconclusivo.

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