Use o teste da razão para determinar se a série converge. Se o teste for inconclusivo, aponte isso.
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{3^{k}}{k!}

Passo 1

O enunciado pede para aplicar o teste da razão à série
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{3^k}{k!}.
Lembre-se que, se definirmos a_k = \frac{3^k}{k!}, o teste da razão diz que devemos calcular
L = \lim_{k\to\infty}\frac{a_{k+1}}{a_k}
e comparar com 1:
  • Se L<1, a série converge absolutamente.
  • Se L>1, diverge.
  • Se L=1, é inconclusivo.

Passo 2

Vamos calcular a razão entre termos consecutivos:
\frac{a_{k+1}}{a_k} = \frac{\displaystyle\frac{3^{k+1}}{(k+1)!}}{\displaystyle\frac{3^k}{k!}} = \frac{3^{k+1}}{(k+1)!}\cdot\frac{k!}{3^k} = \frac{3}{k+1}.

Passo 3

Agora tomamos o limite quando k\to\infty:
L = \lim_{k\to\infty}\frac{3}{k+1} = 0.
Como L=0<1, pelo teste da razão a série converge absolutamente.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\frac{3^k}{k!} converge (na verdade, converge absolutamente) pelo teste da razão.

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