Use o Teste da Razão para estudar a convergência da série abaixo.
sumn=0^infty 5^nn^5

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série sumn=0^infty 5^nn^5 usando o Teste da Razão. O conteúdo envolve aplicar a definição do teste da razão e calcular o limite L = limntoinfty l|an+1/anr|.

Passo 2

Definimos o termo geral an = 5^nn^5 e escrevemos o termo subsequente an+1 = 5^n+1(n+1)^5. A razão entre termos consecutivos é
an+1an= 5^n+1/(n+1)^55^n/n^5= 5,n^5(n+1)^5= 5l(1+1nr)^5
Agora calculamos o limite dessa razão quando ntoinfty:
$$
L = \lim_{n\to\infty} \frac{5}{\bigl(1+\tfrac1n\bigr)^5}= \frac{5}{1^5} = 5.
$$

Passo 3

Como no Teste da Razão, se L>1 a série diverge e se L<1 a série converge. Aqui obtivemos L=5>1, logo a série diverge.

Resposta

A série diverge pelo Teste da Razão, pois o limite da razão entre termos consecutivos é 5, maior que 1.

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