Use the definition of continuity and the properties of limits to show that the function is continuous on the given interval.
g(x)=2 \sqrt{3-x}, \quad(-\infty, 3]

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
g(x) = 2\sqrt{3 - x}
é contínua em todo ponto de (-\infty,3]. O conteúdo aqui é a definição de continuidade via limites, e usaremos propriedades de limites (constante múltipla, soma/diferença e composição com função contínua).

Passo 2

Seja a\in(-\infty,3]. Pela definição, g é contínua em a se
\lim_{x\to a}g(x)=g(a).

Passo 3

Calculemos
\lim_{x\to a}g(x) =\lim_{x\to a}2\sqrt{3 - x} =2\,\lim_{x\to a}\sqrt{3 - x},
onde usamos a propriedade de que o limite de uma constante vezes uma função é essa constante vezes o limite da função.

Passo 4

Sabendo que a função u\mapsto\sqrt{u} é contínua em todo u\ge0 e que para a\le3 temos 3-a\ge0, vale
\lim_{x\to a}\sqrt{3 - x} =\sqrt{\lim_{x\to a}(3 - x)} =\sqrt{3 - a}.

Passo 5

Substituindo no passo anterior, obtemos
\lim_{x\to a}g(x) =2\sqrt{3 - a} =g(a).
Portanto, para todo a\in(-\infty,3] a condição de continuidade é satisfeita.

Resposta

A função g(x)=2\sqrt{3-x} é contínua em todo o intervalo (-\infty,3].

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