Use the definition of continuity and the properties of limits to show that the function is continuous on the given interval.
f(x)=\frac{2 x+3}{x-2}, (2, \infty)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
f(x)=\frac{2x+3}{x-2}
é contínua em todo ponto do intervalo (2,\infty). O conteúdo usado será a definição de continuidade via limite e as propriedades de limite (soma, produto, quociente).

Passo 2

Seja a um ponto arbitrário de (2,\infty). Por definição, f é contínua em a se
\lim_{x\to a}f(x)=f(a).

Passo 3

Vamos calcular separadamente
\lim_{x\to a}(2x+3) \quad\text{e}\quad \lim_{x\to a}(x-2).
Como soma e produto por constante preservam limites, temos
\lim_{x\to a}(2x+3)=2\cdot a+3 \quad\text{e}\quad \lim_{x\to a}(x-2)=a-2.

Passo 4

Como a>2, temos a-2\neq 0. Então, pela propriedade do limite do quociente,
\lim_{x\to a}f(x) =\lim_{x\to a}\frac{2x+3}{x-2} =\frac{\lim_{x\to a}(2x+3)}{\lim_{x\to a}(x-2)} =\frac{2a+3}{a-2}.
Mas esse quociente é exatamente f(a). Logo
\lim_{x\to a}f(x)=f(a).

Passo 5

Como a foi escolhido de forma arbitrária em (2,\infty), concluímos que f é contínua em todo ponto desse intervalo.

Resposta

A função f(x)=\frac{2x+3}{x-2} é contínua em (2,\infty).

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