Use que, para todo número real \rho>0, existe um número natural n \in \mathbb{N} tal que n>\rho, para mostrar que:
Dados quaisquer números reais x, y \in \mathbb{R}, com x<y, existe um número irracional u \in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}, tal que x<u<y.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos de dado.
  • Dados dois números reais quaisquer x,y\in\mathbb{R} com x<y, devemos mostrar que existe um número irracional u\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} tal que x<u<y.
  • Temos disponível o fato (lemade Arquimedes que devemos usar): para todo número real \rho>0 existe um número natural n\in\mathbb{N} tal que n>\rho.

Passo 2

Ideia da construção (sem resolver ainda): deslocar o intervalo (x,y) por uma constante irracional e então inserir uma fração racional nesse intervalo deslocado; somando de volta a constante irracional obtemos um ponto no intervalo original que é soma de racional com irracional, logo é irracional. Vou escolher uma constante irracional simples e fixa: \sqrt{2}. Defino
a = x-\sqrt{2},\qquad b = y-\sqrt{2}.
Note que b-a = (y-\sqrt{2})-(x-\sqrt{2}) = y-x>0. Assim o intervalo (a,b) tem extensão positiva.

Passo 3

Construir uma fração \dfrac{m}{n} (com m\in\mathbb{Z},\,n\in\mathbb{N}) tal que a<\dfrac{m}{n}<b.
Para isso uso a propriedade dada (Arquimedes) tomando
\rho=\frac{1}{b-a}=\frac{1}{y-x}>0.
Pela hipótese existe n\in\mathbb{N} com
n>\rho=\frac{1}{b-a}.
Isto é equivalente a
\frac{1}{n}<b-a.

Passo 4

Agora que escolhi n com \dfrac{1}{n}<b-a, procuro um inteiro m tal que
\frac{m}{n}>a.
Considere o número real na. Pela propriedade usual dos inteiros existe um inteiro m tal que
m-1\le na < m.
(Em palavras: existe um inteiro imediatamente maior do que na.) Dividindo essa desigualdade por n>0 obtemos
\frac{m-1}{n}\le a < \frac{m}{n}.
Assim \dfrac{m}{n} é estritamente maior que a:
a<\frac{m}{n}.

Passo 5

Mostrar que \dfrac{m}{n}<b. Da desigualdade anterior temos
\frac{m}{n}\le a + \frac{1}{n}.
Usando que \dfrac{1}{n}<b-a (do Passo 3) segue
\frac{m}{n}\le a+\frac{1}{n}<a+(b-a)=b.
Portanto combinando as desigualdades:
a < \frac{m}{n} < b.
Logo encontramos uma fração racional \dfrac{m}{n}\in(a,b).

Passo 6

Voltar ao intervalo original e construir o número irracional. Lembremos que a=x-\sqrt{2} e b=y-\sqrt{2}. Como \dfrac{m}{n}\in(a,b), somando \sqrt{2} em todas as partes obtemos
x = a+\sqrt{2} < \frac{m}{n} + \sqrt{2} < b+\sqrt{2} = y.
Defina
u=\frac{m}{n}+\sqrt{2}.
Então x<u<y.

Passo 7

Verificar que u é irracional. Isso é imediato porque \dfrac{m}{n} é racional e \sqrt{2} é irracional; a soma de um racional com um irracional é sempre irracional. (Se \dfrac{m}{n}+\sqrt{2} fosse racional, então \sqrt{2}=(\dfrac{m}{n}+\sqrt{2})-\dfrac{m}{n} seria diferença de racionais, logo racional — contradição.)

Passo 8

Conclusão final: construímos explicitamente u=\dfrac{m}{n}+\sqrt{2} com x<u<y e u irracional. Assim, para quaisquer x<y existe um irracional entre eles.

Resposta

Existe u\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} tal que x<u<y; por exemplo, escolhendo n\in\mathbb{N} com \dfrac{1}{n}<y-x e m\in\mathbb{Z} com a<\dfrac{m}{n}<b (onde a=x-\sqrt{2}, b=y-\sqrt{2}), pode-se tomar u=\dfrac{m}{n}+\sqrt{2}, que satisfaz x<u<y e é irracional.

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