Use que, para todo número real
, existe um número natural
tal que
, para mostrar que:
Dados quaisquer números reais
, com
, existe um número irracional
, tal que
.
Dados quaisquer números reais
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos de dado.
- Dados dois números reais quaisquer
com , devemos mostrar que existe um número irracional tal que . - Temos disponível o fato (lemade Arquimedes que devemos usar): para todo número real
existe um número natural tal que .
Passo 2
Ideia da construção (sem resolver ainda): deslocar o intervalo
por uma constante irracional e então inserir uma fração racional nesse intervalo deslocado; somando de volta a constante irracional obtemos um ponto no intervalo original que é soma de racional com irracional, logo é irracional. Vou escolher uma constante irracional simples e fixa:
. Defino
Note que
. Assim o intervalo
tem extensão positiva.
Passo 3
Construir uma fração
(com
) tal que
.
Para isso uso a propriedade dada (Arquimedes) tomando
Para isso uso a propriedade dada (Arquimedes) tomando
Pela hipótese existe
com
Isto é equivalente a
Passo 4
Agora que escolhi
com
, procuro um inteiro
tal que
Considere o número real
. Pela propriedade usual dos inteiros existe um inteiro
tal que
(Em palavras: existe um inteiro imediatamente maior do que
.) Dividindo essa desigualdade por
obtemos
Assim
é estritamente maior que
:
Passo 5
Mostrar que
. Da desigualdade anterior temos
Usando que
(do Passo 3) segue
Portanto combinando as desigualdades:
Logo encontramos uma fração racional
.
Passo 6
Voltar ao intervalo original e construir o número irracional. Lembremos que
e
. Como
, somando
em todas as partes obtemos
Defina
Então
.
Passo 7
Verificar que
é irracional. Isso é imediato porque
é racional e
é irracional; a soma de um racional com um irracional é sempre irracional. (Se
fosse racional, então
seria diferença de racionais, logo racional — contradição.)
Passo 8
Conclusão final: construímos explicitamente
com
e
irracional. Assim, para quaisquer
existe um irracional entre eles.
Resposta
Existe
tal que
; por exemplo, escolhendo
com
e
com
(onde
,
), pode-se tomar
, que satisfaz
e é irracional.