Mostre que
.
(sugestão: mostre por contradição, usando que todo número natural se decompõe de forma única como produto de potências de números primos)
(sugestão: mostre por contradição, usando que todo número natural se decompõe de forma única como produto de potências de números primos)
Passo 1
O que o enunciado pede: provar as três afirmações abaixo:
Informações dadas / hipóteses que vou usar (tiradas da sugestão):
- Todo número natural maior que
tem uma decomposição única como produto de potências de números primos (Teorema Fundamental da Aritmética). - Devemos provar por contradição: assumir que cada raiz é racional e obter uma contradição com a unicidade da decomposição em primos.
Passo 2
Explicando bem o que vou usar (Teorema Fundamental da Aritmética) — aula curta e intuitiva:
- Para cada inteiro
existe uma escrita única
onde quase todos os expoentes
valem
(ou seja, só aparecem finitamente muitos primos com
). Exemplo concreto:
.
- Se multiplicamos
por si mesmo vezes, os expoentes na fatoração multiplicam por :
Isto significa que, para cada primo
, o expoente de
em
é
— sempre um múltiplo de
.
Passo 3
Definição útil (intuitiva) que usarei repetidamente: para um inteiro
e um primo
, escrevo
para o expoente de
na fatoração prima de
. Ou seja,
é a maior potência de
que divide
. Pelo item anterior,
Essa propriedade é a peça-chave para gerar contradições ao assumir que uma raiz racional existe.
Passo 4
Prova por contradição de
.
Suponha, para obter contradição, que
. Então existem inteiros
e
com
e
tais que
Elevando ao cubo:
Agora examine o expoente do primo
em ambos os lados usando
.
- No lado esquerdo,
. - No lado direito,
.
Igualando:
Isto diz que o número
é múltiplo de
. Mas
é múltiplo de
, portanto
deixa resto
na divisão por
; logo não pode ser múltiplo de
. Contradição. Assim a suposição de racionalidade é impossível. Portanto
Passo 5
Prova por contradição de
.
Suponha que
. Então existem inteiros
com
e
tais que
Elevando à quinta potência:
Olhe o expoente do primo
:
- Lado esquerdo:
. - Lado direito:
.
Igualando:
O membro da esquerda é congruente a
módulo
, enquanto o da direita é múltiplo de
. Não pode ser. Contradição. Logo
Passo 6
Prova por contradição de
.
Suponha que
. Então existem inteiros
com
e
tais que
Elevando ao quadrado:
Agora use o primo
(poderia usar também o primo
; qualquer um funciona porque
e ambos aparecem com expoente
).
- Lado esquerdo:
. - Lado direito:
.
Portanto
O lado esquerdo é ímpar (pois é
mais um número par), enquanto o lado direito é par. Isso é impossível. Assim obtemos contradição com a suposição de racionalidade. Conclui-se que
Passo 7
Comentário final (didático e encorajador):
- A ideia geral usada em todos os casos é a mesma: assumir que uma raiz racional existe, escrever como fração irreduzível
, elevar à potência adequada e comparar os expoentes de um primo que aparece no radicando. O fato de que na equação resultante o expoente desse primo tem uma parte fixa (por exemplo em ) cria uma incongruência modular com a multiplicação dos expoentes por (o expoente da potência), dando a contradição. - Esse método funciona sempre que o radicando contém um primo com expoente que não é múltiplo do índice da raiz. Por exemplo,
com primo e é irracional pelos mesmos argumentos.