Mostre que \sqrt[3]{5} \notin \mathbb{Q}, \sqrt[5]{3} \notin \mathbb{Q}, \sqrt{15} \notin Q.
(sugestão: mostre por contradição, usando que todo número natural se decompõe de forma única como produto de potências de números primos)

Passo 1

O que o enunciado pede: provar as três afirmações abaixo:
\sqrt[3]{5}\notin\mathbb{Q},\qquad \sqrt[5]{3}\notin\mathbb{Q},\qquad \sqrt{15}\notin\mathbb{Q}.
Informações dadas / hipóteses que vou usar (tiradas da sugestão):
  • Todo número natural maior que 1 tem uma decomposição única como produto de potências de números primos (Teorema Fundamental da Aritmética).
  • Devemos provar por contradição: assumir que cada raiz é racional e obter uma contradição com a unicidade da decomposição em primos.

Passo 2

Explicando bem o que vou usar (Teorema Fundamental da Aritmética) — aula curta e intuitiva:
  • Para cada inteiro n\ge 2 existe uma escrita única
n=\prod_{p\\ \text{primo}} p^{\alpha_p},
onde quase todos os expoentes \alpha_p valem 0 (ou seja, só aparecem finitamente muitos primos com \alpha_p>0). Exemplo concreto: 360=2^{3}\cdot3^{2}\cdot5^{1}.
  • Se multiplicamos n por si mesmo k vezes, os expoentes na fatoração multiplicam por k:
n^k=\prod_{p} p^{k\alpha_p}.
Isto significa que, para cada primo p, o expoente de p em n^k é k\alpha_p — sempre um múltiplo de k.

Passo 3

Definição útil (intuitiva) que usarei repetidamente: para um inteiro m\ge1 e um primo p, escrevo v_p(m) para o expoente de p na fatoração prima de m. Ou seja, p^{v_p(m)} é a maior potência de p que divide m. Pelo item anterior,
v_p(m^k)=k\,v_p(m).
Essa propriedade é a peça-chave para gerar contradições ao assumir que uma raiz racional existe.

Passo 4

Prova por contradição de \sqrt[3]{5}\notin\mathbb{Q}.
Suponha, para obter contradição, que \sqrt[3]{5}\in\mathbb{Q}. Então existem inteiros a e b com b>0 e \gcd(a,b)=1 tais que
\sqrt[3]{5}=\frac{a}{b}.
Elevando ao cubo:
5=\frac{a^3}{b^3}\quad\Longrightarrow\quad 5\,b^3=a^3.
Agora examine o expoente do primo 5 em ambos os lados usando v_5.
  • No lado esquerdo, v_5(5\,b^3)=1+v_5(b^3)=1+3v_5(b).
  • No lado direito, v_5(a^3)=3v_5(a).
    Igualando:
1+3v_5(b)=3v_5(a).
Isto diz que o número 1+3v_5(b) é múltiplo de 3. Mas 3v_5(b) é múltiplo de 3, portanto 1+3v_5(b) deixa resto 1 na divisão por 3; logo não pode ser múltiplo de 3. Contradição. Assim a suposição de racionalidade é impossível. Portanto
\sqrt[3]{5}\notin\mathbb{Q}.

Passo 5

Prova por contradição de \sqrt[5]{3}\notin\mathbb{Q}.
Suponha que \sqrt[5]{3}\in\mathbb{Q}. Então existem inteiros a,b com b>0 e \gcd(a,b)=1 tais que
\sqrt[5]{3}=\frac{a}{b}.
Elevando à quinta potência:
3=\frac{a^5}{b^5}\quad\Longrightarrow\quad 3\,b^5=a^5.
Olhe o expoente do primo 3:
  • Lado esquerdo: v_3(3\,b^5)=1+5v_3(b).
  • Lado direito: v_3(a^5)=5v_3(a).
    Igualando:
1+5v_3(b)=5v_3(a).
O membro da esquerda é congruente a 1 módulo 5, enquanto o da direita é múltiplo de 5. Não pode ser. Contradição. Logo
\sqrt[5]{3}\notin\mathbb{Q}.

Passo 6

Prova por contradição de \sqrt{15}\notin\mathbb{Q}.
Suponha que \sqrt{15}\in\mathbb{Q}. Então existem inteiros a,b com b>0 e \gcd(a,b)=1 tais que
\sqrt{15}=\frac{a}{b}.
Elevando ao quadrado:
15=\frac{a^2}{b^2}\quad\Longrightarrow\quad 15\,b^2=a^2.
Agora use o primo 3 (poderia usar também o primo 5; qualquer um funciona porque 15=3\cdot5 e ambos aparecem com expoente 1).
  • Lado esquerdo: v_3(15\,b^2)=1+2v_3(b).
  • Lado direito: v_3(a^2)=2v_3(a).
    Portanto
1+2v_3(b)=2v_3(a).
O lado esquerdo é ímpar (pois é 1 mais um número par), enquanto o lado direito é par. Isso é impossível. Assim obtemos contradição com a suposição de racionalidade. Conclui-se que
\sqrt{15}\notin\mathbb{Q}.

Passo 7

Comentário final (didático e encorajador):
  • A ideia geral usada em todos os casos é a mesma: assumir que uma raiz racional existe, escrever como fração irreduzível a/b, elevar à potência adequada e comparar os expoentes de um primo que aparece no radicando. O fato de que na equação resultante o expoente desse primo tem uma parte fixa (por exemplo 1 em 5b^3) cria uma incongruência modular com a multiplicação dos expoentes por k (o expoente da potência), dando a contradição.
  • Esse método funciona sempre que o radicando contém um primo com expoente que não é múltiplo do índice da raiz. Por exemplo, \sqrt[n]{p} com p primo e n\ge2 é irracional pelos mesmos argumentos.

Resposta

\sqrt[3]{5}\notin\mathbb{Q}
\sqrt[5]{3}\notin\mathbb{Q}
\sqrt{15}\notin\mathbb{Q}

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