Use transformações para esboçar o gráfico da função.
f(x)= \begin{cases}-x & \text { se } x<0 \\\ e^{x}-1 & \text { se } x \geqslant 0\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede que a gente esboce o gráfico da função
f(x)= \begin{cases} -x, & x<0,\\\ e^{x}-1, & x\ge0 \end{cases}
usando transformações de gráficos básicos. Vamos pensar em dois gráficos “base”: y=x e y=e^{x}. A partir deles, faremos reflexões e translações, depois restringimos domínio de cada pedaço.

Passo 2

Para x<0, temos
f(x)=-x.
Isso é exatamente o gráfico de y=x refletido em relação ao eixo x. Em vez de subir para a direita, ele desce. Mais precisamente:
  • Partimos de y=x.
  • Refletimos em torno do eixo x, obtendo y=-x.
  • Finalmente, só desenhamos essa reta para valores de x<0.
    Alguns pontos chave: em x=-1, f(-1)=-(-1)=1; em x=-2, f(-2)=2. Ela passa por (0,0) mas sem incluir o ponto para x<0 (circulinho aberto em (0,0) desse ramo).

Passo 3

Para x\ge0, temos
f(x)=e^{x}-1.
Isso é o gráfico de y=e^{x} transladado para baixo de 1 unidade. Em outras palavras:
  • Partimos de y=e^{x}.
  • Subtraímos 1 de todos os valores, obtendo y=e^{x}-1.
  • Depois, restringimos ao domínio x\ge0.
    Alguns pontos chave: em x=0, f(0)=e^{0}-1=0 (ponto incluído em (0,0)); em x=1, f(1)=e-1; à medida que x\to+\infty, f(x)\to+\infty.

Passo 4

Agora unimos as duas partes num único esboço:
  • Para x<0, desenhamos a reta y=-x até (mas sem incluir) (0,0).
  • Para x\ge0, desenhamos a curva y=e^{x}-1 incluindo o ponto (0,0).
    Note que as duas peças se encontram em (0,0), logo o gráfico é contínuo ali. A reta cresce linearmente para y\to+\infty quando x\to-\,\infty, e a curva exponencial cresce rápido para +\infty conforme x\to+\infty.

Resposta

O esboço é a união de duas curvas que se encontram em (0,0):
– Reta y=-x para x<0 (reflexão de y=x no eixo x), com círculo aberto em (0,0).
– Curva y=e^{x}-1 para x\ge0 (gráfico de e^{x} deslocado 1 unidade para baixo), incluindo (0,0).

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