Use transformações para esboçar o gráfico da função.
f(x)=\frac{1}{x+2}

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico de
f(x)=\frac{1}{x+2}
usando transformações de função. O conteúdo é a transformação do gráfico da hipérbole básica \displaystyle g(x)=\frac{1}{x}.

Passo 2

Começamos com o gráfico de \displaystyle g(x)=\frac{1}{x}. Sabemos que:
– Domínio: x\neq0.
– Assíntotas: vertical em x=0 e horizontal em y=0.
– Dois ramos: um no primeiro quadrante (onde x>0, g(x)>0), decrescente de +\infty a 0^+; outro no terceiro quadrante (onde x<0, g(x)<0), crescente de 0^- a -\infty.

Passo 3

A função f(x) pode ser escrita como
f(x)=g(x+2),
ou seja, pegamos g e deslocamos 2 unidades para a esquerda. Consequências:
– A assíntota vertical x=0 de g vira x+2=0, ou seja, x=-2.
– A assíntota horizontal y=0 permanece y=0.

Passo 4

Para fixar a forma do gráfico, transportamos pontos notáveis de g. Em g temos
g(1)=1,\quad g(-1)=-1.
No gráfico de f, o x que faz x+2=1 é x=-1, e o que faz x+2=-1 é x=-3. Logo, em f temos os pontos
(-1,1)\quad\text{e}\quad(-3,-1).

Passo 5

Analisando comportamentos limites de f:
– Quando x\to(-2)^+, x+2\to0^+ e f(x)\to+\infty.
– Quando x\to(-2)^-, x+2\to0^- e f(x)\to-\infty.
– Quando x\to+\infty, f(x)\to0^+.
– Quando x\to-\infty, f(x)\to0^-.

Resposta

O esboço de f(x)=\frac{1}{x+2} é uma hipérbole com:
– Assíntotas em x=-2 (vertical) e y=0 (horizontal).
– Um ramo no setor onde x>-2 (positivo), passando por (-1,1), decrescendo de +\infty até 0^+.
– Outro ramo onde x<-2 (negativo), passando por (-3,-1), crescendo de -\infty até 0^-.

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