Use transformações para esboçar o gráfico da função.
y=\frac{1}{2}\left(1+e^{x}\right)

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função
y = \tfrac{1}{2}\bigl(1 + e^{x}\bigr)
usando transformações de gráficos. O conteúdo principal é o estudo de transformações na função exponencial básica y = e^{x}. Vamos precisar lembrar como se faz uma contração vertical e uma translação vertical.

Passo 2

Começamos pela função básica
y = e^{x},
que tem domínio \mathbb{R}, cresce rapidamente para +\infty quando x\to+\infty e se aproxima de 0 (assíntota horizontal) quando x\to -\infty.

Passo 3

Aplica-se em seguida uma contração vertical de fator \tfrac12. Isso gera a função
y = \tfrac12\,e^{x}.
Ela mantém a mesma forma de e^{x}, mas todos os valores de y são reduzidos pela metade. A assíntota passa de y=0 para y=0, pois multiplicar por \tfrac12 não altera onde ela fica.

Passo 4

Por fim, fazemos uma translação vertical para cima de +\tfrac12. Assim obtemos
y = \tfrac12\,e^{x} + \tfrac12,
que é exatamente a nossa função original, pois
\tfrac12\,e^{x} + \tfrac12 = \tfrac{1 + e^{x}}{2}.
Essa translação eleva a assíntota de y=0 para a reta
y = \tfrac12.

Passo 5

Para fixar pontos-chave, observamos:
  • Quando x=0, e^{0}=1, logo
y(0)=\tfrac12(1+1)=1.
O gráfico passa por (0,1).
  • Quando x\to -\infty, e^{x}\to0, então y\to\tfrac12. Isso confirma a assíntota horizontal y=\tfrac12.
  • Para x\to+\infty, e^{x}\to+\infty e, portanto, y\to+\infty.

Resposta

O gráfico de y=\tfrac12(1+e^{x}) obtém-se a partir de y=e^{x} fazendo primeiro uma contração vertical de fator \tfrac12 e em seguida elevando tudo em \tfrac12. A assíntota horizontal fica em y=\tfrac12 e o ponto (0,1) está no gráfico.

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