Use transformada de Fourier para resolver as seguintes EDPs com valores de contorno.
Encontre o deslocamento de uma corda elástica semi-infinita se , .
Passo 1
Vamos resolver um problema de equações diferenciais parciais (EDPs) usando a transformada de Fourier. O objetivo é encontrar o deslocamento de uma corda elástica semi-infinita. As condições dadas são:
para todo (condição de contorno),
e
para todo (condições iniciais).
Para resolver isso, vamos usar a transformada de Fourier, que é uma ferramenta poderosa para resolver EDPs transformando-as em equações algébricas mais simples.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a transformada de Fourier na variável espacial . A transformada de Fourier de será denotada por , onde é a variável de frequência.
Passo 3
Ao aplicar a transformada de Fourier na EDP, transformamos derivadas em relação a em multiplicações por (onde é a unidade imaginária). Isso simplifica a EDP original em uma equação diferencial ordinária (EDO) em termos de .
Passo 4
Com as condições de contorno , a transformada de Fourier considera apenas , o que simplifica ainda mais a aplicação das condições iniciais na transformada.
Passo 5
Aplicamos a transformada de Fourier às condições iniciais:
A transformada de é calculada usando integrais conhecidas ou tabelas de transformadas.
A transformada de implica que a constante de integração na solução da EDO será zero.
Passo 6
Resolvemos a EDO resultante em , obtendo uma expressão que depende de e . A solução será uma combinação de funções exponenciais que descrevem a evolução temporal do sistema.
Passo 7
Aplicamos a transformada inversa de Fourier para retornar à variável espacial . Isso envolve integrar a expressão obtida para em relação a , usando técnicas de integração apropriadas.
Passo 8
Simplificamos a expressão final obtida após a transformada inversa, obtendo a solução que descreve o deslocamento da corda ao longo do tempo.
Resposta
A solução para o deslocamento da corda elástica semi-infinita é: