Use a transformada de Laplace para encontrar a soluções geral das equações diferenciais abaixo.
m x^prime prime+k x=0, x(0)=x0, x^prime(0)=0

Passo 1

A equação é m x'' + k x = 0 com condições iniciais x(0)=x0 e x'(0)=0. Vamos usar transformada de Laplace, que converte derivadas em expressões algébricas em s.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace nos dois lados e usamos Lx''(t)=s^2X(s)-s x(0)-x'(0):
ml(s^2X(s)-s x0-0r)+kX(s)=0

Passo 3

Agrupamos os termos em X(s):
m s^2X(s)+kX(s)=m s x0
ou
X(s),(m s^2+k)=m s x0

Passo 4

Isolamos X(s):
X(s)=m s x0m s^2+k=x0ss^2+tfrackm

Passo 5

Reconhecendo que Lcos(omega t)=s/(s^2+omega^2), com omega=raizk/m, fazemos a transformada inversa e obtemos:
x(t)=x0cosl(raiztfrackm,tr)

Resposta

x(t)=x_0\cos\bigl(\sqrt{\tfrac{k}{m}},t\bigr)

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