Use transformada de Laplace para resolver os problemas de valor inicial abaixo.
\left\{\begin{aligned} y^{\prime \prime}-y^{\prime}-2 y & =0, \\\ y(0)=0, y^{\prime}(0) & =2,\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
\begin{cases} y'' - y' - 2y = 0,\\\ y(0)=0,\;y'(0)=2 \end{cases}
usando a transformada de Laplace. Vamos chamar de Y(s)=\mathcal L\{y(t)\} e usar as fórmulas de transformada de derivadas: \mathcal L\{y'\}=sY(s)-y(0) e \mathcal L\{y''\}=s^2Y(s)-s\,y(0)-y'(0).

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace na equação diferencial obtemos:
\mathcal L\{y''\}-\mathcal L\{y'\}-2\mathcal L\{y\}=0 \quad\Longrightarrow\quad \bigl(s^2Y(s)-s\cdot0-2\bigr)-\bigl(sY(s)-0\bigr)-2Y(s)=0.
Ou seja,
(s^2 - s -2)\,Y(s) - 2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad Y(s)=\frac{2}{s^2 - s -2}.

Passo 3

Fatorando o denominador s^2 - s -2=(s-2)(s+1) e fazendo frações parciais:
\frac{2}{(s-2)(s+1)} =\frac{A}{s-2}+\frac{B}{s+1},
com 2 = A(s+1)+B(s-2).
Tomando s=2 2=3A\Rightarrow A=\tfrac{2}{3}.
Tomando s=-1 2=-3B\Rightarrow B=-\tfrac{2}{3}.
Logo
Y(s)=\frac{2}{3}\,\frac{1}{s-2}-\frac{2}{3}\,\frac{1}{s+1}.

Passo 4

Agora aplicamos a transformada inversa:
y(t) =\frac{2}{3}\,e^{2t} -\frac{2}{3}\,e^{-t} =\frac{2}{3}\bigl(e^{2t}-e^{-t}\bigr).

Resposta

y(t)=\frac{2}{3}\bigl(e^{2t}-e^{-t}\bigr).

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