Use transformada de Laplace para resolver os problemas de valor inicial abaixo.
\left\{\begin{array}{r}y^{\prime \prime}+y=\sin (2 t), \\\ y(0)=0, y^{\prime}(0)=0,\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea usando transformada de Laplace:
y'' + y = \sin(2t),\quad y(0)=0,\;y'(0)=0.
O conteúdo envolve aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados, usar as condições iniciais para encontrar Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}, e depois fazer frações parciais e a transformada inversa.

Passo 2

Aplicamos transformada de Laplace em cada termo da equação. Como \mathcal{L}\{y''\} = s^2Y(s) - s\,y(0) - y'(0) e \mathcal{L}\{y\}=Y(s), usando y(0)=0 e y'(0)=0 obtemos
s^2Y(s) + Y(s) = \mathcal{L}\{\sin(2t)\}.
Além disso
\mathcal{L}\{\sin(2t)\} = \frac{2}{s^2+4}.

Passo 3

Juntando os termos em Y(s), fica
Y(s)\bigl(s^2+1\bigr) = \frac{2}{s^2+4} \quad\Longrightarrow\quad Y(s) = \frac{2}{(s^2+1)(s^2+4)}.

Passo 4

Para inverter, fazemos frações parciais: suponha
\frac{2}{(s^2+1)(s^2+4)} = \frac{A}{s^2+1} + \frac{B}{s^2+4}.
Multiplicando ambos os lados por (s^2+1)(s^2+4)
2 = A(s^2+4) + B(s^2+1) = (A+B)s^2 + (4A + B).
Igualando coeficientes:
A + B = 0,\quad 4A + B = 2 \quad\Longrightarrow\quad A = \tfrac{2}{3},\;B = -\tfrac{2}{3}.
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Y(s) = \frac{2/3}{s^2+1} \;-\;\frac{2/3}{s^2+4}.

Passo 5

Usamos a transformada inversa:
\mathcal{L}^{-1}\!\Bigl\{\frac{1}{s^2+1}\Bigr\} = \sin(t), \quad \mathcal{L}^{-1}\!\Bigl\{\frac{1}{s^2+4}\Bigr\} = \frac{1}{2}\sin(2t).
Portanto
y(t) = \frac{2}{3}\sin(t) \;-\;\frac{2}{3}\,\frac{1}{2}\sin(2t) = \frac{2}{3}\sin(t) - \frac{1}{3}\sin(2t).

Resposta

y(t) = \frac{2}{3}\sin(t) - \frac{1}{3}\sin(2t).

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