Use transformada de Laplace para resolver os problemas de valor inicial abaixo.
\left\{\begin{aligned} y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+3 y & =1, \\\ y(0)=0, y^{\prime}(0) & =0,\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver, via transformada de Laplace, o problema de valor inicial
\begin{cases} y''(t) + 4\,y'(t) + 3\,y(t) = 1,\\\ y(0)=0,\quad y'(0)=0. \end{cases}
O conteúdo envolve: 1) aplicar a transformada de Laplace a cada termo, 2) usar as condições iniciais, 3) resolver a equação algébrica em Y(s), 4) fazer frações parciais e 5) inverter para obter y(t).

Passo 2

Aplico a transformada de Laplace denotando \mathcal{L}\{y(t)\}=Y(s). Lembro que
\mathcal{L}\{y''\}=s^2Y(s)-s\,y(0)-y'(0),\quad \mathcal{L}\{y'\}=sY(s)-y(0),\quad \mathcal{L}\{1\}=\frac{1}{s}.
Como y(0)=0 e y'(0)=0, ao transformar a EDO obtemos:
s^2Y(s) + 4\bigl(sY(s)\bigr) + 3Y(s) \;=\;\frac{1}{s}.

Passo 3

Agrupo os termos em Y(s):
Y(s)\bigl(s^2+4s+3\bigr)=\frac{1}{s},
portanto
Y(s)=\frac{1}{s\,(s^2+4s+3)}.

Passo 4

Fatore s^2+4s+3=(s+1)(s+3). Fazendo frações parciais:
\frac{1}{s\,(s+1)(s+3)} =\frac{A}{s}+\frac{B}{s+1}+\frac{C}{s+3}.
Multiplicando por s(s+1)(s+3)
1 = A\,(s+1)(s+3) + B\,s(s+3) + C\,s(s+1).
Para s=0: 1= A\cdot1\cdot3\implies A=\tfrac{1}{3}. Para s=-1: 1= B\cdot(-1)\cdot2\implies B=-\tfrac{1}{2}. Para s=-3: 1= C\cdot(-3)\cdot(-2)\implies C=\tfrac{1}{6}. Logo
Y(s)=\frac{1/3}{s} \; - \; \frac{1/2}{s+1} \; + \; \frac{1/6}{s+3}.

Passo 5

Aplico a transformada inversa termo a termo:
y(t) = \frac{1}{3}\,1 \;-\;\frac{1}{2}e^{-t} \;+\;\frac{1}{6}e^{-3t}.

Resposta

y(t)=\frac{1}{3}-\frac{1}{2}e^{-t}+\frac{1}{6}e^{-3t}.

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