Use transformada de Laplace para resolver os problemas de valor inicial abaixo.
\left\{\begin{array}{r}y^{\prime \prime}+y=\cos (3 t), \\\ y(0)=1, y^{\prime}(0)=0,\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem
y'' + y = \cos(3t),
com condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=0, usando transformada de Laplace. Vamos usar as fórmulas \mathcal{L}\{y''\}(s)=s^2Y(s)-s\,y(0)-y'(0), \mathcal{L}\{y\}(s)=Y(s) e \mathcal{L}\{\cos(3t)\}(s)=\dfrac{s}{s^2+9}.

Passo 2

Aplicando \mathcal{L}\{\cdot\} em ambos os lados de \,y''+y=\cos(3t)\, e usando as condições iniciais, obtém-se
\bigl(s^2Y(s)-s\cdot1-0\bigr) + Y(s) = \frac{s}{s^2+9}.
Isto é,
(s^2+1)\,Y(s) - s = \frac{s}{s^2+9} \quad\Longrightarrow\quad Y(s) = \frac{s}{s^2+1} + \frac{s}{(s^2+1)(s^2+9)}.

Passo 3

Fazendo frações parciais em \dfrac{s}{(s^2+1)(s^2+9)}, escrevemos
\frac{s}{(s^2+1)(s^2+9)} = A\;\frac{s}{s^2+1} + B\;\frac{s}{s^2+9}.
Multiplicando por (s^2+1)(s^2+9) e igualando coeficientes, achamos
A=\frac18, \quad B=-\frac18.
Logo
Y(s) = \frac{s}{s^2+1} + \frac18\,\frac{s}{s^2+1} - \frac18\,\frac{s}{s^2+9} = \frac{9}{8}\,\frac{s}{s^2+1} - \frac{1}{8}\,\frac{s}{s^2+9}.

Passo 4

Usando \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{s}{s^2+a^2}\}=\cos(at), obtemos
y(t) = \frac{9}{8}\cos(t) - \frac{1}{8}\cos(3t).

Resposta

y(t)=\frac{9}{8}\cos(t)-\frac{1}{8}\cos(3t).

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