Use a transformada de Laplace para resolver os problemas de valor inicial:
y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+5 y=0, \quad y(0)=1, y^{\prime}(0)=3

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial com valor inicial
y'' + 2y' + 5y = 0,\quad y(0)=1,\;y'(0)=3
usando a transformada de Laplace. Vamos lembrar que, se denotamos \mathcal{L}\{y(t)\}=Y(s), então
\mathcal{L}\{y'\}(s)=sY(s)-y(0), \quad \mathcal{L}\{y''\}(s)=s^2Y(s)-s\,y(0)-y'(0).

Passo 2

Aplicamos \mathcal{L} em cada termo da equação:
\mathcal{L}\{y''\} + 2\,\mathcal{L}\{y'\} + 5\,\mathcal{L}\{y\} = 0,
ou seja,
\bigl(s^2Y(s)-s\,y(0)-y'(0)\bigr) +2\bigl(sY(s)-y(0)\bigr) +5Y(s)=0.
Substituindo y(0)=1 e y'(0)=3 obtemos
s^2Y(s)-s\cdot1-3 +2\bigl(sY(s)-1\bigr)+5Y(s)=0.

Passo 3

Agrupando os termos em Y(s) e isolando:
\bigl(s^2 + 2s +5\bigr)Y(s) -\bigl(s+3+2\bigr)=0 \quad\Longrightarrow\quad \bigl(s^2+2s+5\bigr)Y(s)=s+5.
Logo,
Y(s)=\frac{s+5}{s^2+2s+5}.

Passo 4

Para inverter a transformada, completamos o quadrado no denominador:
s^2+2s+5 = (s+1)^2 + 4.
Escrevemos o numerador como
s+5 = (s+1) + 4,
logo
Y(s) =\frac{s+1}{(s+1)^2+2^2} +\frac{4}{(s+1)^2+2^2}.

Passo 5

Usamos as transformadas conhecidas:
\mathcal{L}^{-1}\!\Bigl\{\frac{s+1}{(s+1)^2+2^2}\Bigr\}(t) = e^{-t}\cos(2t), \quad \mathcal{L}^{-1}\!\Bigl\{\frac{2}{(s+1)^2+2^2}\Bigr\}(t) = e^{-t}\sin(2t).
Como temos 4/( (s+1)^2+2^2)=2\cdot\bigl(2/( (s+1)^2+2^2)\bigr), obtemos
\mathcal{L}^{-1}\!\Bigl\{\tfrac{4}{(s+1)^2+2^2}\Bigr\}(t) =2\,e^{-t}\sin(2t).

Resposta

y(t)=e^{-t}\cos(2t)+2\,e^{-t}\sin(2t).

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