Use a transformada de Laplace para resolver os problemas de valor inicial:
y^{\prime \prime}+y=e^{-3 t} \cos (2 t), \quad y(0)=0, y^{\prime}(0)=3$

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y'' + y = e^{-3t}\cos(2t),\quad y(0)=0,\;y'(0)=3
usando transformada de Laplace. O assunto é EDO linear com fonte e condições iniciais, e vamos precisar das propriedades
  1. \Laplace[y'] = sY(s) - y(0) e \Laplace[y''] = s^2Y(s) - s\,y(0) - y'(0),
  2. tabelas \Laplace[\cos at]=s/(s^2+a^2), \Laplace[\sin at]=a/(s^2+a^2),
  3. \Laplace[e^{-3t}f(t)] = F(s+3).

Passo 2

Aplicamos a Laplace em ambos os lados de
y''+y = e^{-3t}\cos(2t).
No lado esquerdo temos
\Laplace[y''] + \Laplace[y] = (s^2Y(s)-s\,y(0)-y'(0)) + Y(s) = (s^2+1)Y(s) - 3,
pois y(0)=0 e y'(0)=3. No lado direito
\Laplace[e^{-3t}\cos(2t)] = \frac{s+3}{(s+3)^2 + 2^2}.

Passo 3

Igualando e isolando Y(s),
(s^2+1)Y(s) - 3 = \frac{s+3}{(s+3)^2+4} \quad\Longrightarrow\quad Y(s) = \frac{3}{s^2+1} + \frac{s+3}{(s^2+1)\bigl((s+3)^2+4\bigr)}.

Passo 4

Precisamos quebrar a fração
\frac{s+3}{(s^2+1)\bigl((s+3)^2+4\bigr)} = \frac{As+B}{s^2+1} + \frac{C(s+3)+D}{(s+3)^2+4}.
Multiplicando pelos denominadores e igualando polinômios em s obtemos um sistema para A,B,C,D. A resolução leva a
A=-\tfrac1{30},\quad B=\tfrac{7}{30},\quad C=\tfrac1{30},\quad D=-\tfrac{2}{15}.
Logo
Y(s)=\frac{3}{s^2+1} +\frac{-\tfrac1{30}s+\tfrac{7}{30}}{s^2+1} +\frac{\tfrac1{30}(s+3)-\tfrac{2}{15}}{(s+3)^2+4}.

Passo 5

Agora invertemos termo a termo:
  1. \displaystyle \frac{3}{s^2+1}\longrightarrow 3\sin t.
  2. \displaystyle \frac{-\tfrac1{30}s}{s^2+1}\longrightarrow -\frac1{30}\cos t.
  3. \displaystyle \frac{\tfrac7{30}}{s^2+1}\longrightarrow \frac7{30}\sin t.
  4. \displaystyle \frac{\tfrac1{30}(s+3)}{(s+3)^2+4}\longrightarrow \frac1{30}e^{-3t}\cos(2t).
  5. \displaystyle \frac{-\tfrac{2}{15}}{(s+3)^2+4} =-\tfrac{2}{15}\cdot\frac1{(s+3)^2+2^2}\longrightarrow -\frac1{15}e^{-3t}\sin(2t). Somando tudo dá
y(t) =\Bigl(3+\tfrac7{30}\Bigr)\sin t -\tfrac1{30}\cos t +\tfrac1{30}e^{-3t}\cos(2t) -\tfrac1{15}e^{-3t}\sin(2t) =\frac{97}{30}\sin t-\frac1{30}\cos t +\frac{1}{30}e^{-3t}\cos(2t) -\frac{1}{15}e^{-3t}\sin(2t).

Resposta

\boxed{% y(t) =\frac{97}{30}\,\sin t-\frac{1}{30}\,\cos t +\frac{1}{30}\,e^{-3t}\cos(2t) -\frac{1}{15}\,e^{-3t}\sin(2t). }

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