Use a transformada de Laplace para resolver os problemas de valor inicial:
Passo 1
O enunciado nos dá o problema de valor inicial
e pede a solução
usando transformada de Laplace. Para isso, vamos definir
e usar as fórmulas
Passo 2
Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial, obtemos
onde usamos
e
e
. Como
, isso vira
Reagrupando em
,
Logo
Passo 3
Fatoramos o polinômio do denominador:
Assim
Passo 4
Fazemos frações parciais na forma
Anulando em
dá
. Anulando em
dá
. Comparando coeficientes gerais encontra-se
Passo 5
Portanto
Escrevendo o termo quadrático em completamento de quadrado,
e separando
, temos
Passo 6
Invertendo cada parte via tabelas:
,
,
.
Isso gera
Isso gera