Use a transformada de Laplace para resolver os problemas de valor inicial:
y^{\prime \prime \prime}-3 y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}-2 y=e^{t}, \quad y(0)=0, y^{\prime}(0)=0, y^{\prime \prime}(0)=1

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
y''' - 3y'' + 3y' - 2y = e^t, \quad y(0)=0,\;y'(0)=0,\;y''(0)=1,
e pede a solução y(t) usando transformada de Laplace. Para isso, vamos definir Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\} e usar as fórmulas
\mathcal{L}\{y'\}=sY(s)-y(0),\quad \mathcal{L}\{y''\}=s^2Y(s)-sy(0)-y'(0),\quad \mathcal{L}\{y'''\}=s^3Y(s)-s^2y(0)-s\,y'(0)-y''(0).

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial, obtemos
\bigl[s^3Y(s)-y''(0)\bigr] -3\bigl[s^2Y(s)\bigr] +3\bigl[sY(s)\bigr] -2Y(s) =\frac{1}{s-1},
onde usamos y(0)=0 e y'(0)=0 e \mathcal{L}\{e^t\}=1/(s-1). Como y''(0)=1, isso vira
s^3Y(s)-1-3s^2Y(s)+3sY(s)-2Y(s)=\frac{1}{s-1}.
Reagrupando em Y(s),
Y(s)\bigl(s^3-3s^2+3s-2\bigr)=\frac{1}{s-1}+1 =\frac{s}{s-1}.
Logo
Y(s)=\frac{s}{(s-1)(s^3-3s^2+3s-2)}.

Passo 3

Fatoramos o polinômio do denominador:
s^3-3s^2+3s-2=(s-2)\,(s^2-s+1).
Assim
Y(s)=\frac{s}{(s-1)(s-2)(s^2-s+1)}.

Passo 4

Fazemos frações parciais na forma
\frac{s}{(s-1)(s-2)(s^2-s+1)} =\frac{A}{s-1}+\frac{B}{s-2}+\frac{Cs+D}{s^2-s+1}.
Anulando em s=1 A=-1. Anulando em s=2 B=\tfrac{2}{3}. Comparando coeficientes gerais encontra-se
C=\tfrac{1}{3},\quad D=-\tfrac{2}{3}.

Passo 5

Portanto
Y(s) =-\frac{1}{s-1} +\frac{2/3}{s-2} +\frac{\tfrac{1}{3}s-\tfrac{2}{3}}{s^2-s+1}.
Escrevendo o termo quadrático em completamento de quadrado,
s^2-s+1=(s-\tfrac12)^2+(\tfrac{\sqrt3}{2})^2,
e separando \tfrac{1}{3}s-\tfrac{2}{3} =\tfrac{1}{3}(s-\tfrac12)-\tfrac{1}{2}, temos
Y(s) =-\frac{1}{s-1} +\frac{2/3}{s-2} +\frac{1}{3}\,\frac{s-\tfrac12}{(s-\tfrac12)^2+(\tfrac{\sqrt3}{2})^2} -\frac{1}{2}\,\frac{1}{(s-\tfrac12)^2+(\tfrac{\sqrt3}{2})^2}.

Passo 6

Invertendo cada parte via tabelas: \mathcal{L}^{-1}\{1/(s-a)\}=e^{at}, \mathcal{L}^{-1}\{(s-a)/[(s-a)^2+b^2]\}=e^{at}\cos(bt), \mathcal{L}^{-1}\{1/[(s-a)^2+b^2]\}=(1/b)e^{at}\sin(bt).
Isso gera
y(t) =-e^t +\tfrac{2}{3}e^{2t} +\tfrac{1}{3}e^{t/2}\cos\bigl(\tfrac{\sqrt3}{2}t\bigr) -\tfrac{1}{\sqrt3}e^{t/2}\sin\bigl(\tfrac{\sqrt3}{2}t\bigr).

Resposta

y(t) =-e^t +\frac{2}{3}e^{2t} +\frac{1}{3}e^{t/2}\cos\!\bigl(\tfrac{\sqrt3}{2}t\bigr) -\frac{1}{\sqrt3}e^{t/2}\sin\!\bigl(\tfrac{\sqrt3}{2}t\bigr).

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