Utilizar propriedades operacionais da transformada de Laplace (como translação no eixo s e no eixo t ) para encontrar mathcal{L}\left\{f(t)\right\} ou mathcal{L}^{-1}\left\{F(s)\right\}.
mathcal{L}\left\{e^{5 t} t^{3}\right\}

Passo 1

O enunciado pede para calcular \mathcal{L}\{e^{5t}t^{3}\}. Vamos usar duas propriedades básicas da transformada de Laplace:
  1. A transformada de potências: \mathcal{L}\{t^{n}\} = \dfrac{n!}{s^{\,n+1}}.
  2. A translação no eixo s: se \mathcal{L}\{f(t)\} = F(s) então \mathcal{L}\{e^{a t}f(t)\} = F(s - a).

Passo 2

Primeiro, calculamos a transformada de \,t^{3}.
\mathcal{L}\{t^{3}\} = \frac{3!}{s^{4}} = \frac{6}{s^{4}}.

Passo 3

Agora aplicamos a propriedade de translação em s com a=5:
\mathcal{L}\{e^{5t}t^{3}\} = \Bigl(\mathcal{L}\{t^{3}\}\Bigr)_{s\to s-5} = \frac{6}{(s-5)^{4}}.

Resposta

\mathcal{L}\{e^{5t}t^{3}\} = \frac{6}{(s-5)^{4}}.

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