Use a transformada de Laplace para resolver os problemas de valor inicial:
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+5 y=0, \quad y(0)=1, y^{\prime}(0)=3

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y'' - 2y' + 5y = 0,\quad y(0)=1,\;y'(0)=3
usando a transformada de Laplace. Para isso vamos usar as propriedades
\mathcal{L}\{y'\}(s)=sY(s)-y(0),\qquad \mathcal{L}\{y''\}(s)=s^2Y(s)-s\,y(0)-y'(0),
além das transformadas inversas
\mathcal{L}^{-1}\biggl\{\frac{s-a}{(s-a)^2+b^2}\biggr\}=e^{at}\cos(bt), \qquad \mathcal{L}^{-1}\biggl\{\frac{b}{(s-a)^2+b^2}\biggr\}=e^{at}\sin(bt).

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace na EDO e substituindo y(0)=1 e y'(0)=3, obtemos
\bigl(s^2Y(s)-s\cdot1-3\bigr)\;-\;2\bigl(sY(s)-1\bigr)\;+\;5Y(s)\;=\;0.

Passo 3

Agora agrupamos os termos em Y(s) e isolamos:
Y(s)\,(s^2 -2s +5)\;-\;(s+1)\;=\;0 \qquad\Longrightarrow\qquad Y(s)\;=\;\frac{s+1}{s^2 -2s +5}.

Passo 4

Para inverter, completamos o quadrado no denominador:
s^2-2s+5=(s-1)^2+2^2.
Escrevemos o numerador como
s+1 = (s-1)+2,
logo
Y(s) =\frac{s-1}{(s-1)^2+2^2} \;+\;\frac{2}{(s-1)^2+2^2}.

Passo 5

Aplicando a transformada inversa em cada termo, com a=1 e b=2, dá
y(t)=e^{t}\cos(2t)+e^{t}\sin(2t)=e^{t}\bigl(\cos(2t)+\sin(2t)\bigr).

Resposta

y(t)=e^{t}\bigl(\cos(2t)+\sin(2t)\bigr)

Exercícios relacionados