Use a transformada de Laplace para resolver os problemas de valor inicial:
y^{\prime}+6 y=e^{4 t}, \quad y(0)=2

Passo 1

O enunciado é um problema de valor inicial de uma equação diferencial de primeira ordem
y' + 6y = e^{4t},\quad y(0)=2.
O método é usar a transformada de Laplace, que transforma derivadas em expressões algébricas. Vamos precisar das fórmulas \mathcal{L}\{y'\}(s) = sY(s)-y(0), \mathcal{L}\{y\}(s)=Y(s) e \mathcal{L}\{e^{4t}\}(s)=\tfrac{1}{s-4}.

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace em ambas as parcelas de y'\!+\!6y=e^{4t}, obtemos
\mathcal{L}\{y'\}(s) +6\,\mathcal{L}\{y\}(s) = \mathcal{L}\{e^{4t}\}(s).
Substituindo as fórmulas, fica
\bigl(sY(s)-y(0)\bigr) + 6Y(s) = \frac{1}{s-4}.
Como y(0)=2, temos
(sY(s)-2) + 6Y(s) = \frac{1}{s-4}.

Passo 3

Agrupando Y(s) e isolando:
(s+6)Y(s) - 2 = \frac{1}{s-4},
(s+6)Y(s) = \frac{1}{s-4} + 2 = \frac{1 + 2(s-4)}{s-4} = \frac{2s-7}{s-4}.
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Y(s) = \frac{2s-7}{(s-4)(s+6)}.

Passo 4

Fazemos frações parciais:
\frac{2s-7}{(s-4)(s+6)} = \frac{A}{s-4} + \frac{B}{s+6}.
Isso equivale a
2s - 7 = A(s+6) + B(s-4) = (A+B)\,s + (6A - 4B).
Comparando coeficientes:
A + B = 2, \quad 6A - 4B = -7.
Da primeira A = 2 - B. Substituindo na segunda:
6(2-B) - 4B = -7 \;\Longrightarrow\; 12 - 6B - 4B = -7 \;\Longrightarrow\; -10B = -19 \;\Longrightarrow\; B = \tfrac{19}{10},
A = 2 - \tfrac{19}{10} = \tfrac{1}{10}.
Portanto
Y(s) = \frac{\tfrac{1}{10}}{s-4} + \frac{\tfrac{19}{10}}{s+6}.

Passo 5

Agora aplicamos a transformada inversa termo a termo:
y(t) = \frac{1}{10}\,e^{4t} + \frac{19}{10}\,e^{-6t}.

Resposta

y(t) = \frac{1}{10}\,e^{4t} + \frac{19}{10}\,e^{-6t}.

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