Use a transformada de Laplace para resolver o seguinte problema de valor inicial:
y' = x x' = y x(0) = 0 y(0) = 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou um sistema de equações diferenciais e quer resolver usando a Transformada de Laplace. O que a gente precisa aqui é entender como aplicar essa ferramenta matemática para resolver sistemas de equações que envolvem derivadas. Vamos ver como fazer isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema que temos:
Aqui, temos duas funções, e , e suas derivadas em relação ao tempo . Também temos condições iniciais que nos dizem os valores de e quando .

Passo 3

Agora, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambas as equações. A Transformada de Laplace transforma equações diferenciais do domínio do tempo para o domínio de , que é mais fácil de resolver.
Lembrando que:
Aplicando isso às equações:
  1. Para a primeira equação :
  2. Para a segunda equação :

Passo 4

Agora, substituímos as condições iniciais e nas equações transformadas:

  1. Podemos reescrever como:

  2. Simplifica para:

Passo 5

Vamos substituir a expressão de da segunda equação na primeira:

Mas , então substituindo:

Agora, vamos isolar :


Agora que temos , vamos encontrar usando :

Passo 6

Agora, precisamos encontrar as transformadas inversas para obter e .
Sabemos que:
No nosso caso, , então:
  1. Para :
  2. Para :

Resposta

As soluções do sistema são:

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