Calcular as derivadas das seguintes funções.
f(x) = x / (x^2 - x)^4 + raiz_cubica(37)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a derivada da função . Isso faz parte do estudo de derivadas, que nos ajuda a entender como as funções mudam. Para resolver isso, vamos usar regras de derivação como a regra do quociente e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a função em duas partes para facilitar: e . Sabemos que a derivada de uma constante é zero, então a derivada de será zero. Agora, vamos focar na primeira parte.

Passo 3

Temos a função . Para derivar isso, vamos usar a regra do quociente, que diz que se temos uma função nessa forma , a derivada é . Aqui, e .

Passo 4

Vamos encontrar e .
  • Derivada de é .
  • Para , precisamos usar a regra da cadeia. Primeiro, derivamos o exterior: . Depois, multiplicamos pela derivada do interior: . Então, .

Passo 5

Agora, aplicando a regra do quociente:

Passo 6

Vamos simplificar o numerador:
Podemos fatorar :
Agora, simplificamos dentro dos colchetes:

Passo 7

Portanto, o numerador fica:
E o denominador é . Agora, podemos simplificar dividindo os termos com potências semelhantes:

Passo 8

Finalmente, lembrando que a derivada da segunda parte da função era zero, a derivada total da função é:

Resposta

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