use a transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial em 
  
 
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para resolver um problema de valor inicial usando a transformada de Laplace. A equação dada é uma equação diferencial de segunda ordem:
com as condições iniciais:
Vamos precisar conhecer as propriedades da transformada de Laplace, especialmente como aplicar a transformada em equações diferenciais e usar as condições iniciais para encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembrando que:
e
Aplicando a transformada na equação:
Substituindo pelas expressões conhecidas:
Passo 3
Simplificando a equação:
Vamos juntar os termos com 
 :
Passo 4
Isolando 
 :
Para simplificar, vamos combinar os termos no numerador:
Passo 5
Agora, vamos decompor a fração para facilitar a aplicação da transformada inversa. Podemos escrever:
Passo 6
Vamos agora separar a segunda fração usando frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por 
 :
Para encontrar 
 , 
  e 
 , podemos escolher valores de 
 :
- Para 
:  
- Comparando os coeficientes dos termos de 
, , e constantes:  
Para que isso seja válido para todos os 
 , os coeficientes devem satisfazer:
Então:
Passo 7
Voltando à expressão de 
 :
Passo 8
Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace para encontrar 
 . Sabemos que:
No nosso caso, 
 , então:
Resposta
A solução da equação diferencial é: