Use a Transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
y^{\prime \prime}+9 y=18 t, y(0)=6, y^{\prime}(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y'' + 9\,y = 18\,t,\quad y(0)=6,\quad y'(0)=0
usando a Transformada de Laplace. Vamos transformar cada termo da equação diferencial e aplicar as condições iniciais para obter Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}.

Passo 2

Tomando a Transformada de Laplace em ambos os lados, lembrando \mathcal{L}\{y''\} = s^2Y(s) - s\,y(0) - y'(0), \mathcal{L}\{y\}=Y(s) e \mathcal{L}\{t\}=\frac1{s^2}, obtemos
s^2Y(s) - 6s - 0 \;+\; 9\,Y(s) \;=\;\frac{18}{s^2}.
Agrupando Y(s),
\bigl(s^2+9\bigr)\,Y(s) = 6s + \frac{18}{s^2},
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Y(s) = \frac{6s}{s^2+9} \;+\;\frac{18}{s^2\,(s^2+9)}.

Passo 3

Para inverter a segunda fração, fazemos frações parciais. Escrevemos
\frac{18}{s^2\,(s^2+9)} = \frac{A}{s^2} + \frac{B}{s^2+9}.
Multiplicando ambos os lados por s^2(s^2+9), vem
18 = A\,(s^2+9) + B\,s^2 = (A+B)\,s^2 + 9A.
Igualando coeficientes obtemos
A+B = 0,\quad 9A = 18 \;\Longrightarrow\; A=2,\;B=-2.
Portanto
\frac{18}{s^2\,(s^2+9)} = \frac{2}{s^2} \;-\; \frac{2}{s^2+9},
e assim
Y(s) = \frac{6s}{s^2+9} + \frac{2}{s^2} - \frac{2}{s^2+9}.

Passo 4

Agora aplicamos a Transformada inversa termo a termo: \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{6s}{s^2+9}\}=6\cos(3t), \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{2}{s^2}\}=2t, \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{2}{s^2+9}\}=\tfrac{2}{3}\sin(3t).
Como há sinal menos no último termo, obtemos
y(t) = 6\cos(3t) + 2t \;-\;\frac{2}{3}\sin(3t).

Resposta

y(t) = 6\cos(3t) + 2t - \frac{2}{3}\sin(3t).

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