Use a Transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
y^{\prime}+y=f(t), y(0)=0\), \(f(t)= \begin{cases}0, & \text { se } 0 \leq t<1 \\\\ 5, & \text { se } t \geq 1\end{cases} f(t)=\left\{\begin{array}{lll}0, & \text { se } & 0 \leq t<\pi \\\\ 2, & \text { se } & \pi \leq t<3 \pi \\\\ 0, & \text { se } & t \geq 3 \pi\end{array}\right.

Passo 1

O problema é resolver a equação diferencial
y'(t)+y(t)=f(t),\quad y(0)=0
usando transformada de Laplace. Em toda parte precisamos usar que
\mathcal{L}\{y'\}(s)=sY(s)-y(0)=sY(s),
onde Y(s)=\mathcal{L}\{y\}(s), e também o teorema do deslocamento para funções por partição em t=a.

Passo 2

Para o primeiro caso,
f(t)=\begin{cases} 0,&0\le t<1,\\\\ 5,&t\ge1 \end{cases}
podemos escrever
f(t)=5\,u(t-1),
onde u(t-1) é o degrau de Heaviside. Assim
F(s)=\mathcal{L}\{f\}(s) =\mathcal{L}\{5\,u(t-1)\}(s) =5\,\frac{e^{-s}}{s}.

Passo 3

A transformada da EDO dá
(s+1)Y(s)=F(s)=5\,\frac{e^{-s}}{s},
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Y(s)=5\,\frac{e^{-s}}{s(s+1)}.
Fazendo frações parciais em
\frac{5}{s(s+1)}=5\Bigl(\frac1s-\frac1{s+1}\Bigr),
temos
Y(s)=5\,e^{-s}\Bigl(\frac1s-\frac1{s+1}\Bigr).
Aplicando a inversa e o deslocamento em t=1,
y(t)=5\bigl(1-e^{-(t-1)}\bigr)u(t-1).

Passo 4

Para o segundo caso,
f(t)=\begin{cases} 0,&0\le t<\pi,\\\\ 2,&\pi\le t<3\pi,\\\\ 0,&t\ge3\pi, \end{cases}
escrevemos com degraus:
f(t)=2\,u(t-\pi)-2\,u(t-3\pi).
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F(s)=2\frac{e^{-\pi s}}{s}-2\frac{e^{-3\pi s}}{s} =2\frac{e^{-\pi s}-e^{-3\pi s}}{s}.

Passo 5

Na EDO obtemos
Y(s)=\frac{F(s)}{s+1} =2\frac{e^{-\pi s}-e^{-3\pi s}}{s(s+1)} =2\bigl(e^{-\pi s}-e^{-3\pi s}\bigr)\Bigl(\frac1s-\frac1{s+1}\Bigr).
Invertendo cada termo pelo deslocamento:
y(t) =2\Bigl[\bigl(1-e^{-(t-\pi)}\bigr)u(t-\pi) -\bigl(1-e^{-(t-3\pi)}\bigr)u(t-3\pi)\Bigr].

Resposta

Para f(t)=5 em t\ge1:
y(t)=5\bigl(1-e^{-(t-1)}\bigr)u(t-1).
Para f(t)=2 em \pi\le t<3\pi:
y(t)=2\Bigl[\bigl(1-e^{-(t-\pi)}\bigr)u(t-\pi) -\bigl(1-e^{-(t-3\pi)}\bigr)u(t-3\pi)\Bigr].

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