Use a Transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial: y^{\prime}+y=f(t), y(0)=0,
f(t)= \begin{cases}0, & \text { se } 0 \leq t<1 \\\\ 5, & \text { se } t \geq 1\end{cases}
Passo 1
O enunciado pede a solução da equação diferencial com condição inicial abaixo:
y'(t)+y(t)=f(t),\qquad y(0)=0,
onde f(t)\) é a função em partes
\[f(t)= \begin{cases}0, & \text{se } 0\le t<1,\\[4pt] 5, & \text{se } t\ge 1.\end{cases}
A tarefa é determinar y(t)\] para \(t\ge 0 usando transformadas (como indicado pelo enunciado). As informações relevantes são a equação, a condição inicial y(0)=0 e a expressão de f(t) por partes.]
Passo 2
Definição e propriedade que vamos usar (explicando devagar como num amigo que está te ajudando): a Transformada de Laplace de uma função y(t) é
Até aqui é só organizar a transformada; falta calcular F(s).
Passo 3
Expressar f(t) com a função de degrau (Heaviside) para facilitar a transformada. A função degrau deslocada u(t-a) vale 0 para t<a e 1 para t\ge a. Assim podemos escrever
f(t)=5\,u(t-1).
Isso é simples: antes de t=1 vale 0 e depois vale 5.
Passo 4
Transformada da função degrau deslocada — feito com calma: a fórmula padrão é
Agora usamos a transformada inversa e a propriedade de deslocamento no tempo. Lembre que se \mathcal{L}\{g(t)\}=G(s), então
\mathcal{L}^{-1}\{e^{-as}G(s)\}=u(t-a)\,g(t-a).
Aqui G(s)=5\left(\dfrac{1}{s}-\dfrac{1}{s+1}\right). Primeiro encontramos g(t)=\mathcal{L}^{-1}\{G(s)\}. Sabemos que \mathcal{L}^{-1}\{1/s\}=1 e \mathcal{L}^{-1}\{1/(s+1)\}=e^{-t}. Então
Escrever explicitamente a solução por partes (modo que você vai escrever na prova) e checar rapidamente a consistência. Como u(t-1)=0\) para \(t<1\) e \(1\) para \(t\ge 1\), a solução fica
\[y(t)=\begin{cases}0, & 0\le t<1,\\[4pt] 5\big(1-e^{-(t-1)}\big), & t\ge 1.\end{cases}
Verificação rápida para t\ge 1\]: derivando \(y temos y'(t)=5e^{-(t-1)}. Então
y'+y=5e^{-(t-1)}+5(1-e^{-(t-1)})=5=f(t),
como desejado. Para t<1 temos y\equiv 0 e y'+y=0=f(t). A condição inicial y(0)=0 também é satisfeita. Ótimo — tudo bate.]