O que nos é pedido: para cada um desses f(t)\], encontrar a solução \(y(t) do problema de valor inicial. Todas as informações relevantes (a equação, as condições iniciais e as fórmulas de f(t)) já estão acima.]
Passo 2
Ideia geral (sem ainda calcular): tomo transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Vou usar duas propriedades essenciais da transformada de Laplace que preciso explicar antes de aplicar:
Definição (rápida): a transformada de Laplace de uma função h(t) é
que é a fórmula que vou usar: é direta, evita muitas frações e lida bem com f em peças.
Passo 3
Resolver o caso 1 usando a fórmula de convolução.
Aqui f(t)=e^{t} para 0\le t<1 e f(t)=0 para t\ge1. Portanto, ao integrar de \tau=0 até \tau=t temos que o integrando só existe até \tau=\min(t,1). Ou seja, defino a=\min(t,1). Assim
Agora preciso das integrais \int e^{\tau}\cos(2\tau)\,d\tau e \int e^{\tau}\sin(2\tau)\,d\tau. Há fórmulas padrão (obtidas por integração por partes ou lembrando a transformada inversa):
Para \alpha=1 e \beta=2 temos, com denominação 1+\beta^{2}=5,
Mas \sin^{2}(t-\pi)=\sin^{2}t e \sin^{2}(t-3\pi)=\sin^{2}t (porque seno muda de sinal por deslocamento por \pi ou por 2\pi, e o quadrado elimina o sinal). Assim no intervalo entre \pi e 3\pi a diferença de degraus vale 1, fora dela vale 0. Então a forma mais simples da solução é: