Use transformada de Laplace para resolver os sistemas:
\left\{\begin{array}{rcc}y^{\prime \prime}+10 y-4 z & = & 0 \\\ z^{\prime \prime}+4 z-4 y & = & 0\end{array}, y(0)=0, y^{\prime}(0)=1, z(0)=0\right. e z^{\prime}(0)=-1.

Passo 1

O enunciado dá o sistema de EDOs acopladas
\begin{cases} y''+10y-4z=0,\\\ z''+4z-4y=0, \end{cases}
com condições iniciais y(0)=0, y'(0)=1, z(0)=0, z'(0)=-1.
Vamos aplicar a transformada de Laplace em cada equação para obter um sistema algébrico em Y(s)=\mathcal{L}\{y\} e Z(s)=\mathcal{L}\{z\}, resolver por Cramer e depois inverter para achar y(t) e z(t).

Passo 2

Aplicando \mathcal{L} e usando \mathcal{L}\{y''\}=s^2Y(s)-s\,y(0)-y'(0)=s^2Y(s)-1
e \mathcal{L}\{z''\}=s^2Z(s)-s\,z(0)-z'(0)=s^2Z(s)+1,
temos as equações
s^2Y(s)-1+10Y(s)-4Z(s)=0,
s^2Z(s)+1+4Z(s)-4Y(s)=0.
Reagrupando, fica
(s^2+10)\,Y(s)-4\,Z(s)=1,
-4\,Y(s)+(s^2+4)\,Z(s)=-1.

Passo 3

Usando regra de Cramer no sistema
\begin{cases} (s^2+10)Y-4Z=1,\\\\ -4Y+(s^2+4)Z=-1, \end{cases}
o determinante principal é
\Delta=(s^2+10)(s^2+4)-(-4)^2 =s^4+14s^2+24=(s^2+2)(s^2+12).
Os determinantes dos numeradores são
\Delta_Y=\begin{vmatrix}1 & -4\\\ -1 & s^2+4\end{vmatrix} =(s^2+4)-4=s^2, \qquad \Delta_Z=\begin{vmatrix}s^2+10 & 1\\\ -4 & -1\end{vmatrix} =-(s^2+10)+4=-s^2-6.
Logo
Y(s)=\frac{\Delta_Y}{\Delta} =\frac{s^2}{(s^2+2)(s^2+12)}, \quad Z(s)=\frac{\Delta_Z}{\Delta} =-\frac{s^2+6}{(s^2+2)(s^2+12)}.

Passo 4

Fazendo frações parciais para Y(s):
\frac{s^2}{(s^2+2)(s^2+12)} =\frac{A}{s^2+2}+\frac{B}{s^2+12}.
Multiplicando por (s^2+2)(s^2+12) e igualando coeficientes em s^2 e termo constante, obtemos
A+B=1, \quad 12A+2B=0 \;\Rightarrow\; A=-\tfrac15,\; B=\tfrac65.
Assim
Y(s)=-\frac{1}{5(s^2+2)}+\frac{6}{5(s^2+12)}.

Passo 5

Inversão de Laplace de cada termo: \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s^2+a^2}\}=\tfrac{1}{a}\sin(at).
Logo
y(t) =-\frac{1}{5}\,\mathcal{L}^{-1}\Big\{\frac{1}{s^2+2}\Big\} +\frac{6}{5}\,\mathcal{L}^{-1}\Big\{\frac{1}{s^2+12}\Big\} =-\frac{1}{5\sqrt{2}}\sin(\sqrt{2}\,t) +\frac{6}{5\cdot2\sqrt{3}}\sin(2\sqrt{3}\,t),
ou simplificando
y(t)=-\frac{1}{5\sqrt{2}}\sin(\sqrt{2}\,t) +\frac{3}{5\sqrt{3}}\sin(2\sqrt{3}\,t).

Passo 6

Para Z(s) fazemos frações parciais
-\frac{s^2+6}{(s^2+2)(s^2+12)} =\frac{C}{s^2+2}+\frac{D}{s^2+12},
o que leva a
C+D=-1, \quad 12C+2D=-6 \;\Rightarrow\; C=-\tfrac25,\; D=-\tfrac35.
Assim
Z(s)=-\frac{2}{5(s^2+2)}-\frac{3}{5(s^2+12)},
e invertendo
z(t) =-\frac{2}{5\sqrt{2}}\sin(\sqrt{2}\,t) -\frac{3}{5\cdot2\sqrt{3}}\sin(2\sqrt{3}\,t) =-\frac{2}{5\sqrt{2}}\sin(\sqrt{2}\,t) -\frac{3}{10\sqrt{3}}\sin(2\sqrt{3}\,t).

Resposta

y(t)=-\frac{1}{5\sqrt{2}}\sin(\sqrt{2}\,t) +\frac{3}{5\sqrt{3}}\sin(2\sqrt{3}\,t), \qquad z(t)=-\frac{2}{5\sqrt{2}}\sin(\sqrt{2}\,t) -\frac{3}{10\sqrt{3}}\sin(2\sqrt{3}\,t).

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