1. Sem o uso de calculadora, encontre o valor dos logaritmos abaixo.
(k) \log _{16} 64

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o valor de \log_{16}64 sem o uso de calculadora. As informações dadas são:
  • base: \,16,
  • argumento: \,64.

Passo 2

Lembrando a definição de logaritmo: \log_a b = x \iff a^{x}=b, com a>0, a\neq1 e b>0. Ou seja, o logaritmo é o expoente que a base a precisa para gerar b.

Passo 3

Aplique a definição ao problema. Seja
x=\log_{16}64.
Pela definição, isso significa
16^{x}=64.

Passo 4

Observe que tanto \,16 quanto \,64 são potências de 2. Escreva-os assim:
16=2^{4},\qquad 64=2^{6}.
Escolhemos a base 2 porque facilita comparar exponenciais.

Passo 5

Substituindo na equação 16^{x}=64 obtemos
(2^{4})^{x}=2^{6}.
Usando a propriedade de potências (a^{m})^{n}=a^{mn}, isso vira
2^{4x}=2^{6}.

Passo 6

Como as potências de 2 são iguais, os expoentes devem ser iguais:
4x=6.
Resolva para x:
x=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}=1,5.

Passo 7

Método alternativo (troca de base) — útil para reforçar a ideia: pela fórmula de mudança de base,
\log_{16}64=\frac{\log 64}{\log 16}.
Escrevendo \log 64=6\log 2 e \log 16=4\log 2, obtemos
\log_{16}64=\frac{6\log 2}{4\log 2}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}.

Passo 8

Observação final e regra prática: sempre que base e argumento forem potências da mesma base (aqui 2), pode-se usar a propriedade
\log_{a^{k}}(a^{m})=\frac{m}{k},
o que agiliza muito cálculos de logaritmo sem calculadora. Exemplo rápido: \log_{9}27=\log_{3^{2}}3^{3}=3/2.

Resposta

\displaystyle \frac{3}{2}

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