- Encontre as soluções das equações abaixo.
(a)
Passo 1
O enunciado pede para encontrar as soluções da equação. A equação dada é:
Informações relevantes que o enunciado dá:
- A incógnita é
. - Há uma potência com base
e expoente . - A equação é exponencial; o objetivo é isolar
.
Passo 2
Primeiro objetivo: isolar a potência
. Para isso, dividimos os dois lados da equação por
. Isso é válido porque
e manterá a igualdade:
Comentário didático rápido: em equações, podemos multiplicar ou dividir ambos os lados por qualquer número diferente de zero sem alterar as soluções. Aqui usamos isso para deixar a potência sozinha.
Passo 3
Agora precisamos “desfazer” a exponenciação para obter
. A ferramenta correta é o logaritmo, que é a operação inversa da exponenciação. Lembra que, por definição, se
com
,
e
, então
Aplicando isso à nossa igualdade, podemos escrever:
Explicação didática:
é o expoente à qual devemos elevar
para obter
. Aqui esse expoente é exatamente
.
Passo 4
Agora isolamos
subtraindo
de ambos os lados:
Isso já é uma forma exata da solução. Mas nos exames costuma ser mais prático usar logaritmo natural ou logaritmo decimal para calcular um valor numérico; usamos a fórmula de mudança de base:
onde
é o logaritmo natural (base
). Aplicando com
e
obtemos
Explicação didática: a mudança de base permite calcular qualquer logaritmo usando uma base conveniente (por exemplo
ou
) disponível na calculadora.
Passo 5
Vamos estimar numericamente para ter uma ideia do valor. Usando aproximações conhecidas:
Calculando a razão:
Subtraindo
:
Arredondando,
.
Passo 6
Resumo das ideias usadas (mini-aula rápida, para a prova):
- Para resolver
, primeiro isola dividindo por . - Em seguida, use logaritmo para “baixar” o expoente:
. - Se precisar de cálculo numérico, aplique a mudança de base
. - Sempre verifique domínio: aqui
e , então tudo OK.