1. Encontre as soluções das equações abaixo.
(a) 2 \cdot 3^{x+5}=5

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as soluções da equação. A equação dada é:
2 \cdot 3^{x+5} = 5.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A incógnita é x.
  • Há uma potência com base 3 e expoente x+5.
  • A equação é exponencial; o objetivo é isolar x.

Passo 2

Primeiro objetivo: isolar a potência 3^{x+5}. Para isso, dividimos os dois lados da equação por 2. Isso é válido porque 2\neq0 e manterá a igualdade:
3^{x+5} = \frac{5}{2}.
Comentário didático rápido: em equações, podemos multiplicar ou dividir ambos os lados por qualquer número diferente de zero sem alterar as soluções. Aqui usamos isso para deixar a potência sozinha.

Passo 3

Agora precisamos “desfazer” a exponenciação para obter x. A ferramenta correta é o logaritmo, que é a operação inversa da exponenciação. Lembra que, por definição, se
a^y = b
com a>0, a\neq1 e b>0, então
y = \log_a b.
Aplicando isso à nossa igualdade, podemos escrever:
x+5 = \log_3\!\left(\frac{5}{2}\right).
Explicação didática: \log_3\!(5/2) é o expoente à qual devemos elevar 3 para obter 5/2. Aqui esse expoente é exatamente x+5.

Passo 4

Agora isolamos x subtraindo 5 de ambos os lados:
x = \log_3\!\left(\frac{5}{2}\right) - 5.
Isso já é uma forma exata da solução. Mas nos exames costuma ser mais prático usar logaritmo natural ou logaritmo decimal para calcular um valor numérico; usamos a fórmula de mudança de base:
\log_a b = \frac{\ln b}{\ln a},
onde \ln é o logaritmo natural (base e). Aplicando com a=3 e b=\dfrac{5}{2} obtemos
x = \frac{\ln\!\left(\dfrac{5}{2}\right)}{\ln 3} - 5.
Explicação didática: a mudança de base permite calcular qualquer logaritmo usando uma base conveniente (por exemplo \ln ou \log_{10}) disponível na calculadora.

Passo 5

Vamos estimar numericamente para ter uma ideia do valor. Usando aproximações conhecidas:
\ln\!\left(\frac{5}{2}\right) \approx 0,9162907,\qquad \ln 3 \approx 1,0986123.
Calculando a razão:
\frac{\ln\!\left(\dfrac{5}{2}\right)}{\ln 3} \approx \frac{0,9162907}{1,0986123} \approx 0,8343.
Subtraindo 5:
x \approx 0,8343 - 5 = -4,1657.
Arredondando, x \approx -4,166.

Passo 6

Resumo das ideias usadas (mini-aula rápida, para a prova):
  • Para resolver a\cdot b^{f(x)} = c, primeiro isola b^{f(x)} dividindo por a.
  • Em seguida, use logaritmo para “baixar” o expoente: f(x) = \log_b(\text{lado}).
  • Se precisar de cálculo numérico, aplique a mudança de base \log_b y = \dfrac{\ln y}{\ln b}.
  • Sempre verifique domínio: aqui 3^{x+5}>0 e \dfrac{5}{2}>0, então tudo OK.

Resposta

x = \log_3\!\left(\dfrac{5}{2}\right) - 5 = \dfrac{\ln\!\left(\dfrac{5}{2}\right)}{\ln 3} - 5 \approx -4{,}1657

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