Com o uso da identidade vetorial abaixo:
nabla cdot(A times B)=nabla times A cdot B-nabla times B cdot A
e das Equações de Maxwell, demonstre o seguinte resultado:
nabla cdot(E^* times H^prime+E^prime times H^*)=-i omega(varepsilon^prime-varepsilon) E^* cdot E^prime

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que nablacdot(E^*timesH'+E'timesH^*) = -iomega(varepsilon'-varepsilon),E^*cdotE', usando a identidade vetorial de divergência de produto vetorial e as equações de Maxwell no domínio da frequência. Vamos precisar da identidade nablacdot(AtimesB) = (nablatimesA)cdotB - (nablatimesB)cdotA e das fórmulas nablatimesE = -iomegamuH e nablatimesH = iomegavarepsilonE, consideradas nos campos conjugados e primados.

Passo 2

Aplicamos a identidade vetorial separadamente a cada termo:
Para nablacdot(E^*timesH')
nablacdot(E^*timesH') = (nablatimesE^*)cdotH' - (nablatimesH')cdotE^*
E para nablacdot(E'timesH^*)
nablacdot(E'timesH^*) = (nablatimesE')cdotH^* - (nablatimesH^*)cdotE'

Passo 3

Somamos as duas expressões para obter
nablacdot(E^*timesH'+E'timesH^*) = (nablatimesE^*)cdotH' + (nablatimesE')cdotH^* - (nablatimesH')cdotE^* - (nablatimesH^*)cdotE'

Passo 4

Substituímos as equações de Maxwell no domínio da frequência para os rôtares conjugado e primado:
nablatimesE^* = iomegamuH^*,
nablatimesE' = -iomegamuH',
nablatimesH' = iomegavarepsilon'E' e
nablatimesH^* = -iomegavarepsilonE^*.
Isso dá
iomegamuH^*cdotH' - iomegamuH'cdotH^* - iomegavarepsilon'E'cdotE^* + iomegavarepsilonE^*cdotE'

Passo 5

Observamos que H^*cdotH' é escalar e iomegamuH^*cdotH' - iomegamuH'cdotH^* = 0. Além disso E'cdotE^* = E^*cdotE'. Logo sobra
-iomega(varepsilon' - varepsilon),E^*cdotE',
e obtemos exatamente o resultado desejado.

Resposta

nablacdot(E^*timesH'+E'timesH^*) = -iomega(varepsilon'-varepsilon),E^*cdotE'

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