Utilizando álgebra das proposições, encontre a expressão equivalente que é composta apenas por conectivos e (^) ou negação (~)
\mathrm{p} \wedge(\sim \mathrm{p} \vee \mathrm{q})

Passo 1

O enunciado dá a expressão
\mathrm{p}\wedge(\sim \mathrm{p}\vee \mathrm{q})
e pede uma expressão equivalente que use apenas o conectivo “e” ( \wedge) e a negação ( \sim). Vou listar o que temos e o que se quer:
  • Dado: \mathrm{p}\wedge(\sim \mathrm{p}\vee \mathrm{q}).
  • Objetivo: escrever uma fórmula logicamente equivalente que contenha apenas \wedge e \sim (ou seja, sem \vee).

Passo 2

Aplicar a lei distributiva da conjunção sobre a disjunção. A lei é:
A\wedge(B\vee C)=(A\wedge B)\vee(A\wedge C),
onde A,B,C são quaisquer fórmulas proposicionais. Aqui A corresponde a \mathrm{p}, B a \sim\mathrm{p} e C a \mathrm{q}. Aplicando essa lei obtemos:
\mathrm{p}\wedge(\sim \mathrm{p}\vee \mathrm{q})=(\mathrm{p}\wedge\sim \mathrm{p})\vee(\mathrm{p}\wedge \mathrm{q}).
Explicando: a distributiva “espalha” \mathrm{p} para cada membro da disjunção interna.

Passo 3

Analisar o termo \mathrm{p}\wedge\sim\mathrm{p}. Esse é um caso clássico de contradição: para qualquer valor de verdade de \mathrm{p},
  • se \mathrm{p} é verdadeiro então \sim\mathrm{p} é falso, logo \mathrm{p}\wedge\sim\mathrm{p} é falso;
  • se \mathrm{p} é falso então \sim\mathrm{p} é verdadeiro, mas \mathrm{p} é falso, logo \mathrm{p}\wedge\sim\mathrm{p} é falso.
    Portanto \mathrm{p}\wedge\sim\mathrm{p} é logicamente equivalente à constante falsa (contradição). Em notação informal: \mathrm{p}\wedge\sim\mathrm{p}\equiv\text{F}.

Passo 4

Usar a identidade lógica que diz que “falso ou X” é equivalente a X:
\text{F}\vee X \equiv X.
Substituindo \text{F} por \mathrm{p}\wedge\sim\mathrm{p} na expressão do Passo 2, temos
(\mathrm{p}\wedge\sim\mathrm{p})\vee(\mathrm{p}\wedge\mathrm{q}) \equiv \mathrm{p}\wedge\mathrm{q}.
Assim a expressão dada simplifica para \mathrm{p}\wedge\mathrm{q}.

Passo 5

Verificação alternativa (remoção explícita de \vee usando De Morgan), só para mostrar outra via que também usa apenas \wedge e \sim:
Partindo de (\mathrm{p}\wedge\sim\mathrm{p})\vee(\mathrm{p}\wedge\mathrm{q}), aplicar a equivalência
X\vee Y \equiv \sim(\sim X\wedge\sim Y).
Isso dá
\sim\big(\sim(\mathrm{p}\wedge\sim\mathrm{p})\wedge\sim(\mathrm{p}\wedge\mathrm{q})\big).
Como \mathrm{p}\wedge\sim\mathrm{p} é sempre falsa, \sim(\mathrm{p}\wedge\sim\mathrm{p}) é sempre verdadeira, e a expressão acima reduz-se a
\sim\big(\text{T}\wedge\sim(\mathrm{p}\wedge\mathrm{q})\big)=\sim\big(\sim(\mathrm{p}\wedge\mathrm{q})\big)=\mathrm{p}\wedge\mathrm{q},
confirmando o resultado anterior. Esta via mostra explicitamente como eliminar \vee mantendo apenas \wedge e \sim.

Resposta

\mathrm{p}\wedge\mathrm{q}

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