Utilizando álgebra das proposições, encontre a expressão equivalente que é composta apenas por conectivos e (^) ou negação (~)
Passo 1
O enunciado dá a expressão
e pede uma expressão equivalente que use apenas o conectivo “e” (
) e a negação (
). Vou listar o que temos e o que se quer:
- Dado:
. - Objetivo: escrever uma fórmula logicamente equivalente que contenha apenas
e (ou seja, sem ).
Passo 2
Aplicar a lei distributiva da conjunção sobre a disjunção. A lei é:
onde
são quaisquer fórmulas proposicionais. Aqui
corresponde a
,
a
e
a
. Aplicando essa lei obtemos:
Explicando: a distributiva “espalha”
para cada membro da disjunção interna.
Passo 3
Analisar o termo
. Esse é um caso clássico de contradição: para qualquer valor de verdade de
,
- se
é verdadeiro então é falso, logo é falso; - se
é falso então é verdadeiro, mas é falso, logo é falso.
Portantoé logicamente equivalente à constante falsa (contradição). Em notação informal: .
Passo 4
Usar a identidade lógica que diz que “falso ou X” é equivalente a
:
Substituindo
por
na expressão do Passo 2, temos
Assim a expressão dada simplifica para
.
Passo 5
Verificação alternativa (remoção explícita de
usando De Morgan), só para mostrar outra via que também usa apenas
e
:
Partindo de
, aplicar a equivalência
Isso dá
Como
é sempre falsa,
é sempre verdadeira, e a expressão acima reduz-se a
confirmando o resultado anterior. Esta via mostra explicitamente como eliminar
mantendo apenas
e
.