Utilizando álgebra das proposições, encontre a expressão equivalente que é composta apenas por conectivos e (^) ou negação (~)
p <-> q

Passo 1

O enunciado pede transformar a fórmula p \leftrightarrow q numa expressão equivalente que use apenas os conectivos “e” e negação.
Informações dadas:
  • A fórmula inicial é p \leftrightarrow q.
  • A expressão final deve conter somente conjunções (representadas aqui por \land) e negações (representadas aqui por \lnot).
    Observação: vou usar os símbolos lógicos padrão em TeX: \land para “e” (o que você chamou de ^) e \lnot para negação (o que você chamou de ~).

Passo 2

Entender o que significa p \leftrightarrow q. Por definição, p \leftrightarrow q é verdadeiro exatamente quando p e q têm o mesmo valor de verdade (ambos verdadeiros ou ambos falsos). Uma forma prática e muito usada para reescrever a bicondicional é como a conjunção das duas implicações:
p \leftrightarrow q \equiv (p \to q) \land (q \to p).
Aqui a ideia é: para que p seja equivalente a q, é preciso que p implique q e ao mesmo tempo q implique p. Isso é uma equivalência lógica padrão.

Passo 3

Converter cada implicação para uma forma que envolva apenas \lor (ou) e \lnot. Recordando a equivalência da implicação:
a \to b \equiv \lnot a \lor b.
Aplicando isso nas duas implicações do passo anterior:
p \to q \equiv \lnot p \lor q, \qquad q \to p \equiv \lnot q \lor p.

Passo 4

Agora precisamos eliminar o conectivo \lor (ou) porque o enunciado exige apenas \land e \lnot. Usamos a lei de De Morgan que reescreve disjunção em termos de negações e conjunções:
a \lor b \equiv \lnot(\lnot a \land \lnot b).
Essa é uma identidade fundamental: “ou” pode ser expressado como a negação de (a negação de cada um e juntas por ‘e’).

Passo 5

Aplicar De Morgan às expressões de implicação obtidas no passo 3. Para p \to q:
p \to q \equiv \lnot p \lor q \equiv \lnot(\lnot(\lnot p) \land \lnot q).
Agora simplificamos a dupla negação \lnot(\lnot p)=p, então
p \to q \equiv \lnot(p \land \lnot q).
Analogamente, para q \to p obtemos
q \to p \equiv \lnot(q \land \lnot p).

Passo 6

Substituir essas formas na expressão do passo 2 (conjunção das duas implicações). Assim:
p \leftrightarrow q \equiv (p \to q) \land (q \to p) \equiv \lnot(p \land \lnot q) \land \lnot(q \land \lnot p).
Esta fórmula usa apenas \land e \lnot, que é exatamente o que o enunciado pediu.

Passo 7

Pequena checagem intuitiva (opcional, para ganhar confiança): se p e q forem ambos verdadeiros, então p \land \lnot q é falso e \lnot(p \land \lnot q) é verdadeiro; o mesmo para o outro fator, então a conjunção é verdadeira. Se p e q tiverem valores distintos, um dos termos p \land \lnot q ou q \land \lnot p será verdadeiro, sua negação será falsa, e a conjunção dá falso — exatamente o comportamento da bicondicional.

Resposta

\lnot(p \land \lnot q) \land \lnot(q \land \lnot p)

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