Utilizando álgebra das proposições, encontre a expressão equivalente que é composta apenas por conectivos e (^) ou negação (~)
p
q
p
Passo 1
O enunciado pede transformar a fórmula
numa expressão equivalente que use apenas os conectivos “e” e negação.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A fórmula inicial é
. - A expressão final deve conter somente conjunções (representadas aqui por
) e negações (representadas aqui por ).
Observação: vou usar os símbolos lógicos padrão em TeX:para “e” (o que você chamou de ^) epara negação (o que você chamou de ~).
Passo 2
Entender o que significa
. Por definição,
é verdadeiro exatamente quando
e
têm o mesmo valor de verdade (ambos verdadeiros ou ambos falsos). Uma forma prática e muito usada para reescrever a bicondicional é como a conjunção das duas implicações:
Aqui a ideia é: para que
seja equivalente a
, é preciso que
implique
e ao mesmo tempo
implique
. Isso é uma equivalência lógica padrão.
Passo 3
Converter cada implicação para uma forma que envolva apenas
(ou) e
. Recordando a equivalência da implicação:
Aplicando isso nas duas implicações do passo anterior:
Passo 4
Agora precisamos eliminar o conectivo
(ou) porque o enunciado exige apenas
e
. Usamos a lei de De Morgan que reescreve disjunção em termos de negações e conjunções:
Essa é uma identidade fundamental: “ou” pode ser expressado como a negação de (a negação de cada um e juntas por ‘e’).
Passo 5
Aplicar De Morgan às expressões de implicação obtidas no passo 3. Para
:
Agora simplificamos a dupla negação
, então
Analogamente, para
obtemos
Passo 6
Substituir essas formas na expressão do passo 2 (conjunção das duas implicações). Assim:
Esta fórmula usa apenas
e
, que é exatamente o que o enunciado pediu.
Passo 7
Pequena checagem intuitiva (opcional, para ganhar confiança): se
e
forem ambos verdadeiros, então
é falso e
é verdadeiro; o mesmo para o outro fator, então a conjunção é verdadeira. Se
e
tiverem valores distintos, um dos termos
ou
será verdadeiro, sua negação será falsa, e a conjunção dá falso — exatamente o comportamento da bicondicional.