Utilizando álgebra das proposições, encontre a expressão equivalente que é composta apenas por conectivos ou (v) ou negação (~)
p <-> q
p <-> q
Passo 1
O enunciado dá a fórmula lógica
(bicondicional) e pede uma expressão equivalente que use apenas os conectivos “ou” e “negação”.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A fórmula inicial é
. - A restrição: a expressão final deve conter somente o conectivo disjunção (
) e a negação ( ), além de parênteses e as proposições e .
Passo 2
Entender o que significa o bicondicional. Por definição,
é verdadeiro exatamente quando
e
têm o mesmo valor de verdade: ambos verdadeiros ou ambos falsos. Por isso vale a equivalência padrão
Explicação curta: a primeira parte
cobre o caso “ambos verdadeiros” e a segunda
cobre o caso “ambos falsos”; a disjunção une os dois casos.
Passo 3
Agora precisamos eliminar o conectivo
(e) usando apenas
e
. Para isso usamos a lei de De Morgan transformada:
Essa fórmula diz: “a e b” é equivalente à negação de “não a ou não b”. É uma equivalência fundamental e fácil de verificar por tabela verdade.
Passo 4
Aplicar De Morgan ao primeiro termo
. Usando
e
na equivalência anterior:
Aqui já temos a forma do primeiro conector usando apenas
e
.
Passo 5
Aplicar De Morgan ao segundo termo
. Agora em De Morgan tome
e
:
Observação:
, por isso surge
.
Passo 6
Substituir as duas transformações na equivalência do Passo 2. Partindo de
e trocando cada
pelo equivalente em
e
(Passos 4 e 5), obtemos a expressão equivalente que usa só
e
.
(Detalhes das substituições foram feitos nos passos anteriores.)
(Detalhes das substituições foram feitos nos passos anteriores.)