Utilizando álgebra das proposições, encontre a expressão equivalente que é composta apenas por conectivos ou (v) ou negação (~)
p <-> q

Passo 1

O enunciado dá a fórmula lógica \,p \leftrightarrow q\, (bicondicional) e pede uma expressão equivalente que use apenas os conectivos “ou” e “negação”.
Informações dadas:
  • A fórmula inicial é \,p \leftrightarrow q\,.
  • A restrição: a expressão final deve conter somente o conectivo disjunção ( \vee) e a negação ( \neg), além de parênteses e as proposições \,p\, e \,q.

Passo 2

Entender o que significa o bicondicional. Por definição, \,p \leftrightarrow q\, é verdadeiro exatamente quando p e q têm o mesmo valor de verdade: ambos verdadeiros ou ambos falsos. Por isso vale a equivalência padrão
p \leftrightarrow q \equiv (p \land q)\\ \lor\\ (\neg p \land \neg q).
Explicação curta: a primeira parte (p \land q) cobre o caso “ambos verdadeiros” e a segunda (\neg p \land \neg q) cobre o caso “ambos falsos”; a disjunção une os dois casos.

Passo 3

Agora precisamos eliminar o conectivo \land (e) usando apenas \vee e \neg. Para isso usamos a lei de De Morgan transformada:
a \land b \equiv \neg(\neg a \vee \neg b).
Essa fórmula diz: “a e b” é equivalente à negação de “não a ou não b”. É uma equivalência fundamental e fácil de verificar por tabela verdade.

Passo 4

Aplicar De Morgan ao primeiro termo (p \land q). Usando a=p e b=q na equivalência anterior:
p \land q \equiv \neg(\neg p \vee \neg q).
Aqui já temos a forma do primeiro conector usando apenas \vee e \neg.

Passo 5

Aplicar De Morgan ao segundo termo (\neg p \land \neg q). Agora em De Morgan tome a=\neg p e b=\neg q:
\neg p \land \neg q \equiv \neg(\neg(\neg p) \vee \neg(\neg q)) \equiv \neg(p \vee q).
Observação: \neg(\neg p)=p, por isso surge \neg(p\vee q).

Passo 6

Substituir as duas transformações na equivalência do Passo 2. Partindo de
p \leftrightarrow q \equiv (p \land q)\\ \lor\\ (\neg p \land \neg q),
e trocando cada \land pelo equivalente em \vee e \neg (Passos 4 e 5), obtemos a expressão equivalente que usa só \vee e \neg.
(Detalhes das substituições foram feitos nos passos anteriores.)

Resposta

\neg(\neg p \vee \neg q) \vee \neg(p \vee q)

Exercícios relacionados