Utilizando a definição, calcule a derivada de cada função: f^prime(x)=lim h 0 f(x+h)-f(x)h
f(x)=x^2+2 x+3

Passo 1

Então, a gente tem um exercício de cálculo que pede para calcular a derivada de uma função usando a definição de derivada. A função que vamos trabalhar é f^prime(x) = lim h 0 f(x+h) - f(x)h . Para resolver isso, vamos usar a definição de derivada, que é:
Vamos por partes entender o que isso significa e como aplicar para encontrar a derivada da nossa função.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir a função f(x + h) = (x + h)^2 + 2(x + h) + 3 na expressão da derivada. Ou seja, precisamos encontrar .
Nossa função é , então:

Passo 3

Agora, vamos expandir (x + h)^2 = x^2 + 2xh + h^2 e simplificar a expressão:
f(x + h) = x^2 + 2xh + h^2 + 2x + 2h + 3
Então,

Passo 4

Em seguida, vamos calcular f(x + h) - f(x) = (x^2 + 2xh + h^2 + 2x + 2h + 3) - (x^2 + 2x + 3) :
f(x + h) - f(x) = 2xh + h^2 + 2h
Simplificando:

Passo 5

Agora, substituímos essa diferença na fórmula da derivada:
f^prime(x) = lim h 0 2xh + h^2 + 2hh

Passo 6

Podemos fatorar f^prime(x) = lim h 0 h(2x + h + 2)h no numerador:
f^prime(x) = lim h 0 (2x + h + 2)
Cancelando :

Passo 7

Agora, aplicamos o limite quando f^prime(x) = 2x + 0 + 2 = 2x + 2 se aproxima de 0:

Resposta

A derivada da função f^prime(x) = 2x + 2 é:

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