Utilizando a definição da derivada, calcule:
$h^{\prime}(-1)$ , sendo $h(t)=2 t^{3}+t$ .

O enunciado pede para calcular

h'(-1)

usando a definição de derivada. O conteúdo necessário é o quociente incremental

h'(a) = \lim_{\Delta t \to 0}\frac{h(a + \Delta t)-h(a)}{\Delta t}

aplicado ao ponto

a=-1

Aplicando a definição em

a=-1

, temos

h'(-1) = \lim_{\Delta t \to 0}\frac{h\bigl(-1 + \Delta t\bigr) - h(-1)}{\Delta t}.

Calculemos

h(-1 + \Delta t)

. Como

h(t)=2t^3 + t

h(-1 + \Delta t) = 2(-1 + \Delta t)^3 + (-1 + \Delta t).

Expandindo

(-1 + \Delta t)^3 = -1 + 3\Delta t -3\Delta t^2 + \Delta t^3

, obtemos

h(-1 + \Delta t) = 2\bigl(-1 + 3\Delta t -3\Delta t^2 + \Delta t^3\bigr) + (-1 + \Delta t) = -3 + 7\Delta t -6\Delta t^2 +2\Delta t^3.

Agora o numerador do quociente incremental é

h(-1 + \Delta t) - h(-1) = \bigl(-3 + 7\Delta t -6\Delta t^2 +2\Delta t^3\bigr) - (-3) = 7\Delta t -6\Delta t^2 +2\Delta t^3.

Dividindo por

\Delta t

e simplificando,

\frac{h(-1 + \Delta t) - h(-1)}{\Delta t} = 7 -6\Delta t +2\Delta t^2.

Tomando o limite

\Delta t \to 0

, fica

h'(-1) = \lim_{\Delta t \to 0}\bigl(7 -6\Delta t +2\Delta t^2\bigr) = 7.

7

Utilizando a definição da derivada, calcule: h^{\prime}(-1), sendo h(t)=2 t^{3}+t.