Utilizando a dualidade multiplicação-convolução da Transformada de Fourier, determine uma expressão para y(t) que não utilize o operador convolução *
y(t)=\operatorname{sinc}(t) * \operatorname{sinc}(t / 2)

Passo 1

O enunciado dá a convolução
y(t)=\operatorname{sinc}(t)*\operatorname{sinc}\!\left(\frac{t}{2}\right)
e pede uma expressão para y(t) que não use o operador de convolução *.
Vou adotar a definição padrão de engenharia para a função sinc neste contexto:
\operatorname{sinc}(t)=\frac{\sin(\pi t)}{\pi t}.
(Se outra convenção for usada, o resultado final muda por fatores de escala; aqui uso a convenção que tem transformada retângulo simples.)

Passo 2

Lembrar um par básico de transformadas (conhecido e muito usado): com a definição acima vale o par
\operatorname{sinc}(t)\\ \xleftrightarrow{\\ \mathcal{F}\\ }\\ \operatorname{rect}(f),
onde \operatorname{rect}(f) é a função retângulo unitária definida por \operatorname{rect}(f)=1 se |f|\le\frac{1}{2} e 0 caso contrário.
Explicando por que isso é útil, de maneira simples: a transformada de Fourier converte convolução no tempo em multiplicação no domínio da frequência. Então, se conhecermos as transformadas das duas sinc, podemos multiplicá-las no domínio f e depois aplicar a transformada inversa para voltar ao tempo — aí não aparece *.

Passo 3

Calcular as transformadas das duas funções usando a propriedade de escala da transformada de Fourier.
Propriedade de escala (forma que vou usar): se x(t)\xleftrightarrow{\\ \mathcal{F}\\ }X(f) então, para a\neq0,
x(a t)\xleftrightarrow{\\ \mathcal{F}\\ }\frac{1}{|a|}\,X\!\left(\frac{f}{a}\right).
Aplicando isso ao nosso caso:
  • Para x_1(t)=\operatorname{sinc}(t) já temos
X_1(f)=\operatorname{rect}(f).
  • Para x_2(t)=\operatorname{sinc}\!\left(\dfrac{t}{2}\right) note que isto é x_0(a t) com x_0(t)=\operatorname{sinc}(t) e a=\tfrac{1}{2}. Pela propriedade de escala,
X_2(f)=\frac{1}{|a|}\,X_0\!\left(\frac{f}{a}\right) =\frac{1}{1/2}\,\operatorname{rect}\!\left(\frac{f}{1/2}\right) =2\,\operatorname{rect}(2f).
Para visualizar os suportes: \operatorname{rect}(f) vale 1 em |f|\le\frac{1}{2}; \operatorname{rect}(2f) vale 1 em |f|\le\frac{1}{4}. Então X_2(f)=2 sobre |f|\le\frac{1}{4} e zero fora.

Passo 4

Usar a dualidade convolução \leftrightarrow multiplicação: a transformada de y(t) é o produto das transformadas das componentes:
Y(f)=X_1(f)\,X_2(f)=\operatorname{rect}(f)\cdot\bigl(2\operatorname{rect}(2f)\bigr).
Como \operatorname{rect}(2f) tem suporte mais estreito ( |f|\le\frac{1}{4}) que \operatorname{rect}(f) ( |f|\le\frac{1}{2}), o produto é simplesmente
Y(f)=2\,\operatorname{rect}(2f).

Passo 5

Calcular a transformada inversa para voltar ao domínio do tempo. Usamos novamente a propriedade de escala, agora no sentido inverso: sabemos que
\operatorname{rect}(f)\\ \xleftrightarrow{\\ \mathcal{F}^{-1}\\ }\\ \operatorname{sinc}(t),
e pela propriedade de escala (tomando a=2 agora para relacionar \operatorname{rect}(2f) com \operatorname{rect}(f)),
\operatorname{rect}(2f)\\ \xleftrightarrow{\\ \mathcal{F}^{-1}\\ }\\ \frac{1}{2}\,\operatorname{sinc}\!\left(\frac{t}{2}\right).
Multiplicando por 2 (pois Y(f)=2\operatorname{rect}(2f)), obtemos
y(t)=2\cdot\frac{1}{2}\,\operatorname{sinc}\!\left(\frac{t}{2}\right)=\operatorname{sinc}\!\left(\frac{t}{2}\right).

Passo 6

Interpretação breve e motivadora: a convolução de \operatorname{sinc}(t) com \operatorname{sinc}(t/2) produziu \operatorname{sinc}(t/2). Em termos de filtros em frequência, isso faz sentido: \operatorname{sinc}(t) corresponde a um filtro retangular mais largo em frequência ( |f|\le\tfrac{1}{2}) que contém totalmente a banda de \operatorname{sinc}(t/2) ( |f|\le\tfrac{1}{4}); multiplicar as duas respostas no domínio f deixa apenas a mais estreita, preservando sua amplitude (com os fatores de escala adequados), e isso volta para o tempo como \operatorname{sinc}(t/2). Força aí — você já entendeu a ideia principal e a conta é curtinha!

Resposta

\displaystyle y(t)=\operatorname{sinc}\!\left(\frac{t}{2}\right)

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