Utilizando a dualidade multiplicação-convolução da Transformada de Fourier, determine uma expressão para
que não utilize o operador convolução *
Passo 1
O enunciado dá a convolução
e pede uma expressão para
que não use o operador de convolução
.
Vou adotar a definição padrão de engenharia para a função sinc neste contexto:
(Se outra convenção for usada, o resultado final muda por fatores de escala; aqui uso a convenção que tem transformada retângulo simples.)
Passo 2
Lembrar um par básico de transformadas (conhecido e muito usado): com a definição acima vale o par
onde
é a função retângulo unitária definida por
se
e
caso contrário.
Explicando por que isso é útil, de maneira simples: a transformada de Fourier converte convolução no tempo em multiplicação no domínio da frequência. Então, se conhecermos as transformadas das duas sinc, podemos multiplicá-las no domínio
e depois aplicar a transformada inversa para voltar ao tempo — aí não aparece
.
Passo 3
Calcular as transformadas das duas funções usando a propriedade de escala da transformada de Fourier.
Propriedade de escala (forma que vou usar): se
então, para
,
Aplicando isso ao nosso caso:
- Para
já temos
- Para
note que isto é com e . Pela propriedade de escala,
Para visualizar os suportes:
vale
em
;
vale
em
. Então
sobre
e zero fora.
Passo 4
Usar a dualidade convolução
multiplicação: a transformada de
é o produto das transformadas das componentes:
Como
tem suporte mais estreito (
) que
(
), o produto é simplesmente
Passo 5
Calcular a transformada inversa para voltar ao domínio do tempo. Usamos novamente a propriedade de escala, agora no sentido inverso: sabemos que
e pela propriedade de escala (tomando
agora para relacionar
com
),
Multiplicando por
(pois
), obtemos
Passo 6
Interpretação breve e motivadora: a convolução de
com
produziu
. Em termos de filtros em frequência, isso faz sentido:
corresponde a um filtro retangular mais largo em frequência (
) que contém totalmente a banda de
(
); multiplicar as duas respostas no domínio
deixa apenas a mais estreita, preservando sua amplitude (com os fatores de escala adequados), e isso volta para o tempo como
. Força aí — você já entendeu a ideia principal e a conta é curtinha!