Utilizando a dualidade multiplicação-convolução da Transformada de Fourier, determine uma expressão para y(t) que não utilize o operador convolução * y(t)=\operatorname{ret}(t) * \cos (\pi t)
Passo 1
O que o enunciado pede e o que está dado.
Pede: encontrar uma expressão para y(t)\) que não use o operador de convolução \(*\), sabendo que
\[y(t)=\operatorname{ret}(t)*\cos(\pi t).
Informação sobre a função \operatorname{ret}(t): vou assumir a definição padrão da função retângulo centrada em zero e de largura unitária, isto é,\operatorname{ret}(t)=\begin{cases} 1, & |t|\le\tfrac{1}{2},\\[4pt] 0, & |t|>\tfrac{1}{2}. \end{cases}(Essa é a definição usual de (\operatorname{rect}(t)].)
Convenção de transformada de Fourier que usarei (padrão de engenharia/análise):X(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} x(t)\,e^{-j\omega t}\,dt, \qquad x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} X(\omega)\,e^{j\omega t}\,d\omega.]
Passo 2
Princípio que vamos usar (dualidade multiplicação–convolução).
Propriedade: a convolução no tempo vira produto no domínio das frequências. Sey(t)=x(t)*h(t),então, usando a convenção acima,Y(\omega)=X(\omega)\,H(\omega),onde X(\omega), H(\omega), Y(\omega) são as transformadas de Fourier de x(t), h(t), y(t) respectivamente.
Estratégia: calcular as transformadas de \operatorname{ret}(t) e de \cos(\pi t), multiplicá-las para obter Y(\omega) e aplicar a transformada inversa para achar y(t) — assim obtemos y(t) sem usar o operador *.
Escrevendo \cos(\pi t) como soma de exponenciais complexas:\cos(\pi t)=\tfrac{1}{2}\bigl(e^{j\pi t}+e^{-j\pi t}\bigr).
Sabendo que, pela convenção escolhida, a transformada de e^{j\omega_0 t} é 2\pi\delta(\omega-\omega_0), obtemosC(\omega)=\mathcal{F}\{\cos(\pi t)\} =\tfrac{1}{2}\bigl(2\pi\delta(\omega-\pi)+2\pi\delta(\omega+\pi)\bigr) =\pi\bigl(\delta(\omega-\pi)+\delta(\omega+\pi)\bigr).
Passo 5
Produto das transformadas para obter Y(\omega).
Pelo passo 2,Y(\omega)=R(\omega)\,C(\omega).
Substituindo C(\omega) do passo anterior:Y(\omega)=R(\omega)\,\pi\bigl(\delta(\omega-\pi)+\delta(\omega+\pi)\bigr).
Usando a propriedade f(\omega)\delta(\omega-\omega_0)=f(\omega_0)\delta(\omega-\omega_0) (multiplicação por delta),Y(\omega)=\pi R(\pi)\,\delta(\omega-\pi)+\pi R(-\pi)\,\delta(\omega+\pi).
Como R(\omega) é par, R(-\pi)=R(\pi), portantoY(\omega)=\pi R(\pi)\bigl(\delta(\omega-\pi)+\delta(\omega+\pi)\bigr).
Passo 6
Transformada inversa para obter y(t) no tempo.
Aplicando a transformada inversa:y(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} Y(\omega)\,e^{j\omega t}\,d\omega.
Substituindo Y(\omega) do passo anterior e usando a propriedade da delta para avaliar a integral:y(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\pi R(\pi)\bigl(\delta(\omega-\pi)+\delta(\omega+\pi)\bigr)e^{j\omega t}\,d\omega.