Utilizando a dualidade multiplicação-convolução da Transformada de Fourier, determine uma expressão para y(t) que não utilize o operador convolução *
y(t)=\operatorname{ret}(t) * \cos (\pi t)

Passo 1

O que o enunciado pede e o que está dado.
  • Pede: encontrar uma expressão para y(t)\) que não use o operador de convolução \(*\), sabendo que \[y(t)=\operatorname{ret}(t)*\cos(\pi t).
  • Informação sobre a função \operatorname{ret}(t): vou assumir a definição padrão da função retângulo centrada em zero e de largura unitária, isto é, \operatorname{ret}(t)=\begin{cases} 1, & |t|\le\tfrac{1}{2},\\[4pt] 0, & |t|>\tfrac{1}{2}. \end{cases}(Essa é a definição usual de (\operatorname{rect}(t)].)
  • Convenção de transformada de Fourier que usarei (padrão de engenharia/análise): X(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} x(t)\,e^{-j\omega t}\,dt, \qquad x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} X(\omega)\,e^{j\omega t}\,d\omega.]

Passo 2

Princípio que vamos usar (dualidade multiplicação–convolução).
  • Propriedade: a convolução no tempo vira produto no domínio das frequências. Se y(t)=x(t)*h(t),então, usando a convenção acima, Y(\omega)=X(\omega)\,H(\omega),onde X(\omega), H(\omega), Y(\omega) são as transformadas de Fourier de x(t), h(t), y(t) respectivamente.
  • Estratégia: calcular as transformadas de \operatorname{ret}(t) e de \cos(\pi t), multiplicá-las para obter Y(\omega) e aplicar a transformada inversa para achar y(t) — assim obtemos y(t) sem usar o operador *.

Passo 3

Transformada de Fourier de \operatorname{ret}(t).
  • Definição da transformada:
    R(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}\operatorname{ret}(t)\,e^{-j\omega t}\,dt.
  • Substituindo a definição de \operatorname{ret}(t) (não nula só em [-1/2,1/2]):
    R(\omega)=\int_{-1/2}^{1/2} e^{-j\omega t}\,dt.
  • Calculando a integral (integração elementar de exponencial):
    R(\omega)=\left.\frac{e^{-j\omega t}}{-j\omega}\right|_{t=-1/2}^{t=1/2} =\frac{e^{-j\omega/2}-e^{j\omega/2}}{-j\omega} =\frac{2\sin(\omega/2)}{\omega}.
  • É mais conveniente escrever na forma conhecida de sinc (sem normalização por \pi):
    R(\omega)=\frac{\sin(\omega/2)}{\omega/2}.
    Observação: R(\omega) é real e par (isto é, R(-\omega)=R(\omega)).
  • Em particular, avaliaremos R(\omega) em \omega=\pi:
    R(\pi)=\frac{\sin(\pi/2)}{\pi/2}=\frac{1}{\pi/2}=\frac{2}{\pi}.

Passo 4

Transformada de Fourier de \cos(\pi t).
  • Escrevendo \cos(\pi t) como soma de exponenciais complexas: \cos(\pi t)=\tfrac{1}{2}\bigl(e^{j\pi t}+e^{-j\pi t}\bigr).
  • Sabendo que, pela convenção escolhida, a transformada de e^{j\omega_0 t} é 2\pi\delta(\omega-\omega_0), obtemos C(\omega)=\mathcal{F}\{\cos(\pi t)\} =\tfrac{1}{2}\bigl(2\pi\delta(\omega-\pi)+2\pi\delta(\omega+\pi)\bigr) =\pi\bigl(\delta(\omega-\pi)+\delta(\omega+\pi)\bigr).

Passo 5

Produto das transformadas para obter Y(\omega).
  • Pelo passo 2, Y(\omega)=R(\omega)\,C(\omega).
  • Substituindo C(\omega) do passo anterior: Y(\omega)=R(\omega)\,\pi\bigl(\delta(\omega-\pi)+\delta(\omega+\pi)\bigr).
  • Usando a propriedade f(\omega)\delta(\omega-\omega_0)=f(\omega_0)\delta(\omega-\omega_0) (multiplicação por delta), Y(\omega)=\pi R(\pi)\,\delta(\omega-\pi)+\pi R(-\pi)\,\delta(\omega+\pi).
  • Como R(\omega) é par, R(-\pi)=R(\pi), portanto Y(\omega)=\pi R(\pi)\bigl(\delta(\omega-\pi)+\delta(\omega+\pi)\bigr).

Passo 6

Transformada inversa para obter y(t) no tempo.
  • Aplicando a transformada inversa: y(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} Y(\omega)\,e^{j\omega t}\,d\omega.
  • Substituindo Y(\omega) do passo anterior e usando a propriedade da delta para avaliar a integral: y(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\pi R(\pi)\bigl(\delta(\omega-\pi)+\delta(\omega+\pi)\bigr)e^{j\omega t}\,d\omega.
y(t)=\frac{\pi R(\pi)}{2\pi}\bigl(e^{j\pi t}+e^{-j\pi t}\bigr) =\frac{R(\pi)}{2}\bigl(e^{j\pi t}+e^{-j\pi t}\bigr).
  • Reconhecendo a parte real (soma de exponenciais) como 2\cos(\pi t): y(t)=R(\pi)\cos(\pi t).
  • Finalmente, usando R(\pi)=\dfrac{2}{\pi} (do passo 3), y(t)=\frac{2}{\pi}\cos(\pi t).

Resposta

y(t)=\dfrac{2}{\pi}\cos(\pi t)

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