Obtenha a transformada de Fourier de r \cdot \operatorname{sinc}\left(\frac{c t}{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Fourier da função r\cdot \operatorname{sinc}\!\left(\dfrac{c t}{2}\right). As informações dadas e as convenções que vou usar (sem perguntar nada a mais) são:
  • r e c são constantes; vou assumir inicialmente c>0. (Se c<0 substitui-se c por |c| nas expressões de suporte, ver observação no final.)
  • Adoto a definição comum de sinc:
\operatorname{s{sinc}}(x)=\frac{\sin x}{x}.
  • Adoto a convenção da transformada de Fourier (frequência angular \omega):
\mathcal{F}\{f\}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t)\,e^{-i\omega t}\,dt.
O objetivo é calcular \mathcal{F}\{\,r\cdot \operatorname{sinc}(\tfrac{c t}{2})\}(\omega) como função de \omega.

Passo 2

Primeiro vou reescrever a função para colocá-la numa forma padrão que conhecemos. Usando \operatorname{s{sinc}}(x)=\dfrac{\sin x}{x} e a=\dfrac{c}{2}, temos:
\operatorname{sinc}\!\bigl(\tfrac{c t}{2}\bigr)=\frac{\sin\!\bigl(\tfrac{c t}{2}\bigr)}{\tfrac{c t}{2}} =\frac{2}{c}\cdot\frac{\sin(a t)}{t}.
Portanto a função é
f(t)=r\cdot \operatorname{sinc}\!\bigl(\tfrac{c t}{2}\bigr)=\frac{2r}{c}\,\frac{\sin(a t)}{t}, \qquad\text{com }a=\frac{c}{2}.

Passo 3

Agora vamos usar um par conhecido e fácil de derivar: a transformada de Fourier da função \dfrac{\sin(a t)}{\pi t} é a função retângulo (ou indicador) no intervalo [-a,a]. Mais precisamente, para a convenção escolhida vale (caso a>0):
\mathcal{F}\!\left\{\frac{\sin(a t)}{\pi t}\right\}(\omega)=\mathbf{1}_{[-a,a]}(\omega),
onde \mathbf{1}_{[-a,a]}(\omega) vale 1 se |\omega|<a, vale 0 se |\omega|>a, e no limite |\omega|=a toma o valor intermédio (convenção de valor médio, igual a 1/2 em pontos de descontinuidade da transformada).
Breve justificativa (intuição útil para a prova): a transformada inversa de \mathbf{1}_{[-a,a]}(\omega) é
\frac{1}{2\pi}\int_{-a}^{a} e^{i\omega t}\,d\omega=\frac{1}{2\pi}\cdot\frac{2\sin(a t)}{t}=\frac{\sin(a t)}{\pi t},
logo por dualidade a transformada direta da função \dfrac{\sin(a t)}{\pi t} é a indicação \mathbf{1}_{[-a,a]}(\omega).

Passo 4

A partir do par do passo anterior, deduzimos a transformada de \dfrac{\sin(a t)}{t}. Basta multiplicar por \pi:
\mathcal{F}\!\left\{\frac{\sin(a t)}{t}\right\}(\omega) =\pi\;\mathbf{1}_{[-a,a]}(\omega).
Isto segue porque \dfrac{\sin(a t)}{t}=\pi\cdot\dfrac{\sin(a t)}{\pi t}.

Passo 5

Volto à função que tenho, f(t)=\dfrac{2r}{c}\dfrac{\sin(a t)}{t}. Usando linearidade da transformada e o resultado do passo anterior:
\mathcal{F}\{f\}(\omega) =\frac{2r}{c}\;\mathcal{F}\!\left\{\frac{\sin(a t)}{t}\right\}(\omega) =\frac{2r}{c}\;\pi\;\mathbf{1}_{[-a,a]}(\omega).
Recordando que a=\dfrac{c}{2}, a condição |\omega|<a é |\omega|<\dfrac{c}{2}. Assim:
\mathcal{F}\{\,r\operatorname{sinc}(\tfrac{c t}{2})\}(\omega) =\frac{2\pi r}{c}\;\mathbf{1}_{\{|\omega|<\tfrac{c}{2}\}}(\omega).

Passo 6

Observações finais e intuições para a prova:
  • A transformada é uma função retangular em \omega: constante dentro do intervalo \bigl(-\tfrac{c}{2},\tfrac{c}{2}\bigr) e zero fora. Isso é o clássico princípio “sinc no tempo ↔ retângulo na frequência”.
  • No ponto exato |\omega|=\tfrac{c}{2} a transformada vale normalmente o valor médio (ponto de descontinuidade), ou seja \dfrac{1}{2} da constante interior; isso aparece quando for necessário explicar valores pontuais de transformadas de funções integráveis.
  • Se c<0, basta substituir c por |c| no suporte, pois a=|c|/2 determina a largura do retângulo; o fator \dfrac{2\pi r}{c} então troca de sinal se usar c negativo, por isso é mais habitual apresentar usando |c| no denominador quando se quer expressão válida para qualquer sinal:
\mathcal{F}\{r\operatorname{sinc}(\tfrac{c t}{2})\}(\omega)=\frac{2\pi r}{|c|}\,\mathbf{1}_{\{|\omega|<\tfrac{|c|}{2}\}}(\omega),
se desejar a forma simétrica do suporte.

Resposta

\displaystyle \mathcal{F}\{\,r\operatorname{sinc}\!\bigl(\tfrac{c t}{2}\bigr)\}(\omega)=\frac{2\pi r}{c}\;\mathbf{1}_{\{|\omega|<\tfrac{c}{2}\}}(\omega)

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