Obtenha a transformada de Fourier de
Passo 1
O enunciado pede a transformada de Fourier da função
. As informações dadas e as convenções que vou usar (sem perguntar nada a mais) são:
-
e são constantes; vou assumir inicialmente . (Se substitui-se por nas expressões de suporte, ver observação no final.) - Adoto a definição comum de sinc:
- Adoto a convenção da transformada de Fourier (frequência angular
):
O objetivo é calcular
como função de
.
Passo 2
Primeiro vou reescrever a função para colocá-la numa forma padrão que conhecemos. Usando
e
, temos:
Portanto a função é
Passo 3
Agora vamos usar um par conhecido e fácil de derivar: a transformada de Fourier da função
é a função retângulo (ou indicador) no intervalo
. Mais precisamente, para a convenção escolhida vale (caso
):
onde
vale
se
, vale
se
, e no limite
toma o valor intermédio (convenção de valor médio, igual a
em pontos de descontinuidade da transformada).
Breve justificativa (intuição útil para a prova): a transformada inversa de é
Breve justificativa (intuição útil para a prova): a transformada inversa de
logo por dualidade a transformada direta da função
é a indicação
.
Passo 4
A partir do par do passo anterior, deduzimos a transformada de
. Basta multiplicar por
:
Isto segue porque
.
Passo 5
Volto à função que tenho,
. Usando linearidade da transformada e o resultado do passo anterior:
Recordando que
, a condição
é
. Assim:
Passo 6
Observações finais e intuições para a prova:
- A transformada é uma função retangular em
: constante dentro do intervalo e zero fora. Isso é o clássico princípio “sinc no tempo ↔ retângulo na frequência”. - No ponto exato
a transformada vale normalmente o valor médio (ponto de descontinuidade), ou seja da constante interior; isso aparece quando for necessário explicar valores pontuais de transformadas de funções integráveis. - Se
, basta substituir por no suporte, pois determina a largura do retângulo; o fator então troca de sinal se usar negativo, por isso é mais habitual apresentar usando no denominador quando se quer expressão válida para qualquer sinal:
se desejar a forma simétrica do suporte.