- Utilızando a expansão em serıe de potencias das funçoes envolvidas, calcule os seguıntes limites:
(g)
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite quando
da função
As informações relevantes dadas são apenas a expressão do numerador
e o ponto onde se toma o limite
. O objetivo é encontrar
Passo 2
Vamos lembrar a série de potências (expansão de Taylor) da função exponencial em torno de
. A série para
é convergente para todo
e é dada por
Aqui
é uma variável qualquer; cada termo da série é
. Essa fórmula é uma ferramenta padrão em provas e exames para aproximar
quando
é pequeno.
Passo 3
No nosso problema, é natural fazer a substituição
. Substituindo na expansão da exponencial obtemos:
Note que escrevi explicitamente os primeiros termos porque, para
pequeno, os termos de maior potência em
são muito menores.
Passo 4
Agora calculamos o numerador usando a expansão acima:
Ou seja, o menor (dominante) termo em potência de
presente no numerador é
.
Passo 5
Dividimos agora pelo denominador
:
Esta igualdade mostra que a expressão pode ser escrita como uma série em potências de
cujo primeiro termo é
.
Passo 6
Tomando o limite termo a termo (ou observando diretamente o primeiro termo), quando
todos os termos da série acima tendem a
. Em particular o primeiro termo
tende a
. Portanto
Passo 7
Comentário prático para a prova: uma maneira ainda mais curta é notar que, como
quando
, colocando
tem-se
. Então
. Ambas as abordagens dão o mesmo resultado; a série torna claro por que o comportamento é assim.