1. Utilızando a expansão em serıe de potencias das funçoes envolvidas, calcule os seguıntes limites:
(g) \lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{x^{3}}-1}{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite quando x\to 0 da função
\frac{e^{x^{3}}-1}{x^{2}}.
As informações relevantes dadas são apenas a expressão do numerador e^{x^{3}}-1 e o ponto onde se toma o limite x=0. O objetivo é encontrar
\lim_{x\to 0}\frac{e^{x^{3}}-1}{x^{2}}.

Passo 2

Vamos lembrar a série de potências (expansão de Taylor) da função exponencial em torno de 0. A série para e^{u} é convergente para todo u e é dada por
e^{u}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{u^{n}}{n!}=1+u+\frac{u^{2}}{2!}+\frac{u^{3}}{3!}+\cdots.
Aqui u é uma variável qualquer; cada termo da série é \dfrac{u^{n}}{n!}. Essa fórmula é uma ferramenta padrão em provas e exames para aproximar e^{u} quando u é pequeno.

Passo 3

No nosso problema, é natural fazer a substituição u=x^{3}. Substituindo na expansão da exponencial obtemos:
e^{x^{3}}=1+x^{3}+\frac{x^{6}}{2!}+\frac{x^{9}}{3!}+\cdots.
Note que escrevi explicitamente os primeiros termos porque, para x pequeno, os termos de maior potência em x são muito menores.

Passo 4

Agora calculamos o numerador usando a expansão acima:
e^{x^{3}}-1 = x^{3}+\frac{x^{6}}{2!}+\frac{x^{9}}{3!}+\cdots.
Ou seja, o menor (dominante) termo em potência de x presente no numerador é x^{3}.

Passo 5

Dividimos agora pelo denominador x^{2}:
\frac{e^{x^{3}}-1}{x^{2}}=\frac{x^{3}+\dfrac{x^{6}}{2!}+\dfrac{x^{9}}{3!}+\cdots}{x^{2}}=x+\frac{x^{4}}{2!}+\frac{x^{7}}{3!}+\cdots.
Esta igualdade mostra que a expressão pode ser escrita como uma série em potências de x cujo primeiro termo é x.

Passo 6

Tomando o limite termo a termo (ou observando diretamente o primeiro termo), quando x\to 0 todos os termos da série acima tendem a 0. Em particular o primeiro termo x tende a 0. Portanto
\lim_{x\to 0}\left(x+\frac{x^{4}}{2!}+\frac{x^{7}}{3!}+\cdots\right)=0.

Passo 7

Comentário prático para a prova: uma maneira ainda mais curta é notar que, como e^{t}-1\sim t quando t\to 0, colocando t=x^{3} tem-se e^{x^{3}}-1\sim x^{3}. Então \dfrac{e^{x^{3}}-1}{x^{2}}\sim x\to 0. Ambas as abordagens dão o mesmo resultado; a série torna claro por que o comportamento é assim.

Resposta

0

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