12-18 (a) Determine uma função
tal que
e (b) use a parte (a) para calcular
sobre a curva
dada.
-
,
Passo 1
O enunciado dá:
- A função vetorial
. - A curva parametrizada
por , com .
O que pede:
(a) Determinar uma função tal que
(ou seja, encontrar um potencial escalar
para
).
(b) Usar (a) para calcular .
(a) Determinar uma função
(b) Usar (a) para calcular
Passo 2
Primeiro vamos checar se existe potencial (isto é, se
é gradiente de alguma função). Escrevo as componentes:
Uma condição necessária (e suficiente em domínios simplesmente conexos) para
ser gradiente é
Calculo as derivadas parciais:
Como
para todo
, e o domínio de
é
(que é simplesmente conexo), concluímos que
é conservativa e existe um potencial
tal que
.
Breve explicação didática: essa igualdade das derivadas parciais garante que não há “circulação local” e, num domínio sem buracos, isso implica que o campo vem de um gradiente — então a integral de linha depende só dos extremos.
Passo 3
Agora vamos encontrar
. Se
, então
Integro
em relação a
, tratando
como constante:
onde
é uma função que pode depender só de
(pois a derivação em
teria anulado termos puramente em
).
Passo 4
Determino
diferenciando a expressão obtida para
em relação a
e igualando a
:
Como isso deve ser igual a
, obtemos
. Logo
é constante. Podemos escolher a constante zero (potencial definido à adição de constante é equivalente). Portanto um potencial é
Explicação prática: integrar uma componente e ajustar com uma função “restante” é o procedimento padrão — depois iguala-se à outra componente para determinar essa função restante.
Passo 5
Agora usamos a propriedade prática: para um campo conservativo
,
onde
e
são os parâmetros inicial e final da curva (este é o Teorema Fundamental das Integrais de Linha para campos gradiente). Aqui
e
.
Calculo os pontos extremos da curva (peguei as coordenadas da parametrização dada):
Passo 6
Avalio
nos extremos:
Portanto, pela propriedade de campo conservativo,
Resposta
(a)
(b)
(b)